Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^2+2x
-
y=-x^2-2
-
y=(x^2+25)/x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos + cinco)/(dos *x+ tres)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado más 5) dividir por (2 multiplicar por x más 3)
- raíz cuadrada de (x en el grado dos más cinco) dividir por (dos multiplicar por x más tres)
- √(x^2+5)/(2*x+3)
- sqrt(x2+5)/(2*x+3)
- sqrtx2+5/2*x+3
- sqrt(x²+5)/(2*x+3)
- sqrt(x en el grado 2+5)/(2*x+3)
- sqrt(x^2+5)/(2x+3)
- sqrt(x2+5)/(2x+3)
- sqrtx2+5/2x+3
- sqrtx^2+5/2x+3
- sqrt(x^2+5) dividir por (2*x+3)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2-5)/(2*x+3)
- sqrt(x^2+5)/(2*x-3)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt^3(6x^2-x)
- sqrt(x)^3-2/x-4/x^5-5*x^3
- sqrt(x)+7*(x-3)^4
- sqrt3(x-2)^2+sqrt3(x-4)^2
- sqrt(-75-28x-x*x)
Gráfico de la función y = sqrt(x^2+5)/(2*x+3)
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2
\/ x + 5
f(x) = -----------
2*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3}$$
f = sqrt(x^2 + 5)/(2*x + 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{1} = -1.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
_____
\/ 145
(10/3, -------)
29 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.5$$
$$\lim_{x \to -1.5^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1.5^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.5$$
$$\lim_{x \to -1.5^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1.5^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} - 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} + 5}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}}{2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5}{3} + \frac{5 \sqrt[3]{2} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{6}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{1} = -1.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 + 5)/(2*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x \left(2 x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x \left(2 x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x \left(2 x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x \left(2 x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{3 - 2 x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = - \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{3 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{3 - 2 x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{2 x + 3} = - \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{3 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar