Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{89}{160} - \frac{7 \sqrt{201}}{480}$$
$$x_{2} = \frac{7 \sqrt{201}}{480} + \frac{89}{160}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.6$$
$$\lim_{x \to 0.6^-}\left(\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0.6^+}\left(\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0.6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico