Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ asin((x-2)/(5*x-3))

Gráfico de la función y = asin((x-2)/(5*x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / x - 2 \
f(x) = asin|-------|
           \5*x - 3/
f(x)=asin⁡(x−25x−3)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} 
f = asin((x - 2)/(5*x - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.6x_{1} = 0.6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x−25x−3)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((x - 2)/(5*x - 3)).
asin⁡(−2−3+0⋅5)\operatorname{asin}{\left(- \frac{2}{-3 + 0 \cdot 5} \right)}
Resultado:
f(0)=asin⁡(23)f{\left(0 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}
Punto:
(0, asin(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5(x−2)(5x−3)2+15x−3−(x−2)2(5x−3)2+1=0\frac{- \frac{5 \left(x - 2\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{5 x - 3}}{\sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(5(x−2)5x−3−1)((x−2)(5(x−2)5x−3−1)(5x−3)(−(x−2)2(5x−3)2+1)+10)(5x−3)2−(x−2)2(5x−3)2+1=0\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=89160−7201480x_{1} = \frac{89}{160} - \frac{7 \sqrt{201}}{480}
x2=7201480+89160x_{2} = \frac{7 \sqrt{201}}{480} + \frac{89}{160}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.6x_{1} = 0.6

lim⁡x→0.6−((5(x−2)5x−3−1)((x−2)(5(x−2)5x−3−1)(5x−3)(−(x−2)2(5x−3)2+1)+10)(5x−3)2−(x−2)2(5x−3)2+1)=−∞i\lim_{x \to 0.6^-}\left(\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i
lim⁡x→0.6+((5(x−2)5x−3−1)((x−2)(5(x−2)5x−3−1)(5x−3)(−(x−2)2(5x−3)2+1)+10)(5x−3)2−(x−2)2(5x−3)2+1)=∞i\lim_{x \to 0.6^+}\left(\frac{\left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{5 \left(x - 2\right)}{5 x - 3} - 1\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1\right)} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(5 x - 3\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=0.6x_{1} = 0.6
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.6x_{1} = 0.6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(x−25x−3)=asin⁡(15)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=asin⁡(15)y = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
lim⁡x→∞asin⁡(x−25x−3)=asin⁡(15)\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=asin⁡(15)y = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x - 2)/(5*x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(x−25x−3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(x−25x−3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x−25x−3)=asin⁡(−x−2−5x−3)\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{- x - 2}{- 5 x - 3} \right)}
- No
asin⁡(x−25x−3)=−asin⁡(−x−2−5x−3)\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 2}{5 x - 3} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{- x - 2}{- 5 x - 3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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