Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1)/(1-cos((x-1)^(1/2)))

Gráfico de la función y = (1)/(1-cos((x-1)^(1/2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               1         
f(x) = ------------------
              /  _______\
       1 - cos\\/ x - 1 /
f(x)=11−cos⁡(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} 
f = 1/(1 - cos(sqrt(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=40.4784176043574x_{2} = 40.4784176043574
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
11−cos⁡(x−1)=0\frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(1 - cos(sqrt(x - 1))).
11−cos⁡(−1)\frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{-1} \right)}}
Resultado:
f(0)=11−cosh⁡(1)f{\left(0 \right)} = \frac{1}{1 - \cosh{\left(1 \right)}}
Punto:
(0, 1/(1 - cosh(1)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−1)2(1−cos⁡(x−1))2x−1=0- \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}\right)^{2} \sqrt{x - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+π2x_{1} = 1 + \pi^{2}
Signos de extremos en los puntos:
       2      
(1 + pi, 1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+π2x_{1} = 1 + \pi^{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1+π2,∞)\left[1 + \pi^{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1+π2]\left(-\infty, 1 + \pi^{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x−1)x−1−2sin⁡2(x−1)(x−1)(cos⁡(x−1)−1)+sin⁡(x−1)(x−1)324(cos⁡(x−1)−1)2=0\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{x - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right) \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−734.291028292688x_{1} = -734.291028292688
x2=−528.648755020416x_{2} = -528.648755020416
x3=−658.341672199039x_{3} = -658.341672199039
x4=−697.46753246476x_{4} = -697.46753246476
x5=−650.184787184283x_{5} = -650.184787184283
x6=−560.059536371897x_{6} = -560.059536371897
x7=−549.89234363256x_{7} = -549.89234363256
x8=−712.443407953911x_{8} = -712.443407953911
x9=−47160.1898158788x_{9} = -47160.1898158788
x10=−505.946347384971x_{10} = -505.946347384971
x11=−762.40830940707x_{11} = -762.40830940707
x12=−802.74608417655x_{12} = -802.74608417655
x13=−789.522369299337x_{13} = -789.522369299337
x14=−633.486026639214x_{14} = -633.486026639214
x15=−769.540811251362x_{15} = -769.540811251362
x16=−673.642399184913x_{16} = -673.642399184913
x17=−769.275110956333x_{17} = -769.275110956333
x18=−689.844618899528x_{18} = -689.844618899528
x19=−569.961734609722x_{19} = -569.961734609722
x20=−2095.29916862532x_{20} = -2095.29916862532
x21=−666.379922070856x_{21} = -666.379922070856
x22=−674.305986771819x_{22} = -674.305986771819
x23=−616.217497116844x_{23} = -616.217497116844
x24=−796.160442801842x_{24} = -796.160442801842
x25=−25297.1918368475x_{25} = -25297.1918368475
x26=−755.478987872166x_{26} = -755.478987872166
x27=−704.999057797006x_{27} = -704.999057797006
x28=−782.830071926859x_{28} = -782.830071926859
x29=−2526.3594380011x_{29} = -2526.3594380011
x30=−481.37246899649x_{30} = -481.37246899649
x31=−108997.982462401x_{31} = -108997.982462401
x32=−490.255084297127x_{32} = -490.255084297127
x33=−598.297349151919x_{33} = -598.297349151919
x34=−607.344743225004x_{34} = -607.344743225004
x35=−634.414326960716x_{35} = -634.414326960716
x36=−682.125754787424x_{36} = -682.125754787424
x37=−741.422998551025x_{37} = -741.422998551025
x38=−822.151725739168x_{38} = -822.151725739168
x39=−517.501919622961x_{39} = -517.501919622961
x40=−439.521175656833x_{40} = -439.521175656833
x41=−624.927674839652x_{41} = -624.927674839652
x42=−719.804482984413x_{42} = -719.804482984413
x43=−641.902178277037x_{43} = -641.902178277037
x44=−501.859126918526x_{44} = -501.859126918526
x45=−727.08590150173x_{45} = -727.08590150173
x46=−579.622375012689x_{46} = -579.622375012689
x47=−710.357669040249x_{47} = -710.357669040249
x48=−539.432811785303x_{48} = -539.432811785303
x49=−763.162962762979x_{49} = -763.162962762979
x50=−618.735032641617x_{50} = -618.735032641617
x51=−454.296224833919x_{51} = -454.296224833919
x52=−589.061705937323x_{52} = -589.061705937323
x53=−1073.25155331168x_{53} = -1073.25155331168
x54=−748.484739222904x_{54} = -748.484739222904
x55=−468.199088291488x_{55} = -468.199088291488
x56=−493.926155615136x_{56} = -493.926155615136
x57=−776.081655137866x_{57} = -776.081655137866
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=40.4784176043574x_{2} = 40.4784176043574

lim⁡x→1−(−cos⁡(x−1)x−1−2sin⁡2(x−1)(x−1)(cos⁡(x−1)−1)+sin⁡(x−1)(x−1)324(cos⁡(x−1)−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{x - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right) \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(−cos⁡(x−1)x−1−2sin⁡2(x−1)(x−1)(cos⁡(x−1)−1)+sin⁡(x−1)(x−1)324(cos⁡(x−1)−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{x - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right) \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→40.4784176043574−(−cos⁡(x−1)x−1−2sin⁡2(x−1)(x−1)(cos⁡(x−1)−1)+sin⁡(x−1)(x−1)324(cos⁡(x−1)−1)2)=∞\lim_{x \to 40.4784176043574^-}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{x - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right) \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→40.4784176043574+(−cos⁡(x−1)x−1−2sin⁡2(x−1)(x−1)(cos⁡(x−1)−1)+sin⁡(x−1)(x−1)324(cos⁡(x−1)−1)2)=−∞\lim_{x \to 40.4784176043574^+}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{x - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right) \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=40.4784176043574x_{2} = 40.4784176043574
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=40.4784176043574x_{2} = 40.4784176043574
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞11−cos⁡(x−1)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞11−cos⁡(x−1)=⟨12,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨12,∞⟩y = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 - cos(sqrt(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(1−cos⁡(x−1)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1x(1−cos⁡(x−1)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
11−cos⁡(x−1)=11−cos⁡(−x−1)\frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} = \frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{- x - 1} \right)}}
- No
11−cos⁡(x−1)=−11−cos⁡(−x−1)\frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{x - 1} \right)}} = - \frac{1}{1 - \cos{\left(\sqrt{- x - 1} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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