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Trazado el gráfico de la función/ 10*sin(2*x)-3*x^2

Gráfico de la función y = 10*sin(2*x)-3*x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        2
f(x) = 10*sin(2*x) - 3*x
f(x)=−3x2+10sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)} 
f = -3*x^2 + 10*sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−3x2+10sin⁡(2x)=0- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1.30340287153585x_{2} = 1.30340287153585
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 10*sin(2*x) - 3*x^2.
10sin⁡(0⋅2)−3⋅0210 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} - 3 \cdot 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6x+20cos⁡(2x)=0- 6 x + 20 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3.25216162120934x_{1} = 3.25216162120934
x2=−2.02898651797967x_{2} = -2.02898651797967
x3=2.87683289148628x_{3} = 2.87683289148628
x4=−0.92617747926278x_{4} = -0.92617747926278
x5=0.682321389944474x_{5} = 0.682321389944474
Signos de extremos en los puntos:
(3.2521616212093387, -29.5362657349393)

(-2.0289865179796696, -4.41632311372245)

(2.876832891486276, -29.8796897061765)

(-0.9261774792627805, -12.1796495136889)

(0.6823213899444739, 8.391567651477)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2.87683289148628x_{1} = 2.87683289148628
x2=−0.92617747926278x_{2} = -0.92617747926278
Puntos máximos de la función:
x2=3.25216162120934x_{2} = 3.25216162120934
x2=−2.02898651797967x_{2} = -2.02898651797967
x2=0.682321389944474x_{2} = 0.682321389944474
Decrece en los intervalos
[2.87683289148628,∞)\left[2.87683289148628, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.92617747926278]\left(-\infty, -0.92617747926278\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(20sin⁡(2x)+3)=0- 2 \left(20 \sin{\left(2 x \right)} + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=asin⁡(320)2+π2x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
x2=−asin⁡(320)2x_{2} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−asin⁡(320)2]∪[asin⁡(320)2+π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−asin⁡(320)2,asin⁡(320)2+π2]\left[- \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2}, \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3}{20} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−3x2+10sin⁡(2x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−3x2+10sin⁡(2x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 10*sin(2*x) - 3*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−3x2+10sin⁡(2x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−3x2+10sin⁡(2x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−3x2+10sin⁡(2x)=−3x2−10sin⁡(2x)- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)} = - 3 x^{2} - 10 \sin{\left(2 x \right)}
- No
−3x2+10sin⁡(2x)=3x2+10sin⁡(2x)- 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)} = 3 x^{2} + 10 \sin{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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