Sr Examen

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3*log(x/(x-3))-1
Trazado el gráfico de la función/ 3*log(x/(x-3))-1

Gráfico de la función y = 3*log(x/(x-3))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /  x  \    
f(x) = 3*log|-----| - 1
            \x - 3/
f(x)=3log⁡(xx−3)−1f{\left(x \right)} = 3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1 
f = 3*log(x/(x - 3)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3log⁡(xx−3)−1=03 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3e131−e13x_{1} = - \frac{3 e^{\frac{1}{3}}}{1 - e^{\frac{1}{3}}}
Solución numérica
x1=10.5831794194714x_{1} = 10.5831794194714
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*log(x/(x - 3)) - 1.
3log⁡(0−3)−13 \log{\left(\frac{0}{-3} \right)} - 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(x−3)(−x(x−3)2+1x−3)x=0\frac{3 \left(x - 3\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(xx−3−1)(1x−3+1x)x=0\frac{3 \left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(3(xx−3−1)(1x−3+1x)x)=∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{3 \left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
lim⁡x→3+(3(xx−3−1)(1x−3+1x)x)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 \left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3log⁡(xx−3)−1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(3log⁡(xx−3)−1)=−1\lim_{x \to \infty}\left(3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*log(x/(x - 3)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3log⁡(xx−3)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3log⁡(xx−3)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3log⁡(xx−3)−1=3log⁡(−x−x−3)−13 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1 = 3 \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)} - 1
- No
3log⁡(xx−3)−1=1−3log⁡(−x−x−3)3 \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 1 = 1 - 3 \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*log(x/(x-3))-1
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