Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{899 \sin{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)} \cos{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{25} - \frac{41}{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{3} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{4} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________________\ / / ___________________\\ / ___________________\
| _______ ______ / _______ | | | _______ ______ / _______ || | _______ ______ / _______ |
| 899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 | 2| | 899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 || | 899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 |
20*atan|- --- + ----------- + -------------------------------| 29*cos |2*atan|- --- + ----------- + -------------------------------|| 82*atan|- --- + ----------- + -------------------------------|
51 \ 205 205 205 / 1774 \ \ 205 205 205 // \ 205 205 205 /
(-- - --------------------------------------------------------------, - ---- + ---------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------)
31 31 155 5 31
/ ___________________\ / ___________________\ / / ___________________\\
| _______ ______ / _______ | | _______ ______ / _______ | | | _______ ______ / _______ ||
|899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 | |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 | 2| |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 - 4*\/ 47886 ||
20*atan|--- - ----------- + -------------------------------| 82*atan|--- - ----------- + -------------------------------| 29*cos |2*atan|--- - ----------- + -------------------------------||
51 \205 205 205 / 1774 \205 205 205 / \ \205 205 205 //
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
31 31 155 31 5
/ ___________________\ / ___________________\ / / ___________________\\
| _______ ______ / _______ | | _______ ______ / _______ | | | _______ ______ / _______ ||
|899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 | |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 | 2| |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 ||
20*atan|--- + ----------- + -------------------------------| 82*atan|--- + ----------- + -------------------------------| 29*cos |2*atan|--- + ----------- + -------------------------------||
51 \205 205 205 / 1774 \205 205 205 / \ \205 205 205 //
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
31 31 155 31 5
/ ___________________\ / ___________________\ / / ___________________\\
| _______ ______ / _______ | | _______ ______ / _______ | | | _______ ______ / _______ ||
|899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 | |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 | 2| |899 4*\/ 47886 \/ 1798 *\/ 899 + 4*\/ 47886 ||
20*atan|--- + ----------- - -------------------------------| 82*atan|--- + ----------- - -------------------------------| 29*cos |2*atan|--- + ----------- - -------------------------------||
51 \205 205 205 / 1774 \205 205 205 / \ \205 205 205 //
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
31 31 155 31 5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}, \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}\right] \cup \left[\frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}\right]$$