Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = (29/5)*cos((31/10)*x-(51/10))^(2)-(41/10)*x-(47/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             2/31*x   51\            
       29*cos |---- - --|            
              \ 10    10/   41*x   47
f(x) = ------------------ - ---- - --
               5             10    10
$$f{\left(x \right)} = \left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10}$$
f = -41*x/10 + 29*cos(31*x/10 - 51/10)^2/5 - 47/10
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -0.694673001331409$$
$$x_{2} = -0.995635143594799$$
$$x_{3} = -0.187063576113101$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 29*cos(31*x/10 - 51/10)^2/5 - 41*x/10 - 47/10.
$$- \frac{47}{10} + \left(- 0 + \frac{29 \cos^{2}{\left(- \frac{51}{10} + \frac{0 \cdot 31}{10} \right)}}{5}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{47}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{51}{10} \right)}}{5}$$
Punto:
(0, -47/10 + 29*cos(51/10)^2/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{899 \sin{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)} \cos{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{25} - \frac{41}{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{3} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{4} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Signos de extremos en los puntos:
             /                                  ___________________\                  /      /                                  ___________________\\          /                                  ___________________\ 
             |            _______     ______   /           _______ |                  |      |            _______     ______   /           _______ ||          |            _______     ______   /           _______ | 
             |  899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  |                 2|      |  899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  ||          |  899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  | 
      20*atan|- --- + ----------- + -------------------------------|           29*cos |2*atan|- --- + ----------- + -------------------------------||   82*atan|- --- + ----------- + -------------------------------| 
 51          \  205       205                     205              /    1774          \      \  205       205                     205              //          \  205       205                     205              / 
(-- - --------------------------------------------------------------, - ---- + ---------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------)
 31                                 31                                  155                                      5                                                                    31                               

             /                                ___________________\                  /                                ___________________\          /      /                                ___________________\\ 
             |          _______     ______   /           _______ |                  |          _______     ______   /           _______ |          |      |          _______     ______   /           _______ || 
             |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  |                  |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  |         2|      |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 - 4*\/ 47886  || 
      20*atan|--- - ----------- + -------------------------------|           82*atan|--- - ----------- + -------------------------------|   29*cos |2*atan|--- - ----------- + -------------------------------|| 
 51          \205       205                     205              /    1774          \205       205                     205              /          \      \205       205                     205              // 
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
 31                                31                                 155                                 31                                                                 5                                   

             /                                ___________________\                  /                                ___________________\          /      /                                ___________________\\ 
             |          _______     ______   /           _______ |                  |          _______     ______   /           _______ |          |      |          _______     ______   /           _______ || 
             |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  |                  |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  |         2|      |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  || 
      20*atan|--- + ----------- + -------------------------------|           82*atan|--- + ----------- + -------------------------------|   29*cos |2*atan|--- + ----------- + -------------------------------|| 
 51          \205       205                     205              /    1774          \205       205                     205              /          \      \205       205                     205              // 
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
 31                                31                                 155                                 31                                                                 5                                   

             /                                ___________________\                  /                                ___________________\          /      /                                ___________________\\ 
             |          _______     ______   /           _______ |                  |          _______     ______   /           _______ |          |      |          _______     ______   /           _______ || 
             |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  |                  |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  |         2|      |899   4*\/ 47886    \/ 1798 *\/  899 + 4*\/ 47886  || 
      20*atan|--- + ----------- - -------------------------------|           82*atan|--- + ----------- - -------------------------------|   29*cos |2*atan|--- + ----------- - -------------------------------|| 
 51          \205       205                     205              /    1774          \205       205                     205              /          \      \205       205                     205              // 
(-- + ------------------------------------------------------------, - ---- - ------------------------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------)
 31                                31                                 155                                 31                                                                 5                                   


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
$$x_{2} = \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}, \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{1798} \sqrt{4 \sqrt{47886} + 899}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}\right] \cup \left[\frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{4 \sqrt{47886}}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{899}{205} \right)}}{31} + \frac{51}{31}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{51}{31} - \frac{20 \operatorname{atan}{\left(- \frac{899}{205} + \frac{\sqrt{1798} \sqrt{899 - 4 \sqrt{47886}}}{205} + \frac{4 \sqrt{47886}}{205} \right)}}{31}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{27869 \left(\sin^{2}{\left(\frac{31 x - 51}{10} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{31 x - 51}{10} \right)}\right)}{250} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{51}{31} - \frac{5 \pi}{62}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{62} + \frac{51}{31}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{51}{31} - \frac{5 \pi}{62}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{62} + \frac{51}{31}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{51}{31} - \frac{5 \pi}{62}, \frac{5 \pi}{62} + \frac{51}{31}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 29*cos(31*x/10 - 51/10)^2/5 - 41*x/10 - 47/10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10}}{x}\right) = - \frac{41}{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{41 x}{10}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10}}{x}\right) = - \frac{41}{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{41 x}{10}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10} = \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} + \frac{51}{10} \right)}}{5} - \frac{47}{10}$$
- No
$$\left(- \frac{41 x}{10} + \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} - \frac{51}{10} \right)}}{5}\right) - \frac{47}{10} = - \frac{41 x}{10} - \frac{29 \cos^{2}{\left(\frac{31 x}{10} + \frac{51}{10} \right)}}{5} + \frac{47}{10}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar