Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -2xlnx

Gráfico de la función y = -2xlnx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -2*x*log(x)
f(x)=−2xlog⁡(x)f{\left(x \right)} = - 2 x \log{\left(x \right)} 
f = (-2*x)*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2xlog⁡(x)=0- 2 x \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-2*x)*log(x).
−0log⁡(0)- 0 \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2log⁡(x)−2=0- 2 \log{\left(x \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
  -1     -1 
(e , 2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−1]\left(-\infty, e^{-1}\right]
Crece en los intervalos
[e−1,∞)\left[e^{-1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x=0- \frac{2}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2xlog⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−2xlog⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2*x)*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−2log⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2xlog⁡(x)=2xlog⁡(−x)- 2 x \log{\left(x \right)} = 2 x \log{\left(- x \right)}
- No
−2xlog⁡(x)=−2xlog⁡(−x)- 2 x \log{\left(x \right)} = - 2 x \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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