Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.455539933872368$$
$$x_{2} = 1.62490432539393$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1.62490432539393, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.455539933872368\right]$$