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Trazado el gráfico de la función/ xx*((ln(x))^2)-2*x*ln(x)-x/(x^2-1)

Gráfico de la función y = xx*((ln(x))^2)-2*x*ln(x)-x/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2                     x   
f(x) = x*x*log (x) - 2*x*log(x) - ------
                                   2    
                                  x  - 1
f(x)=−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)f{\left(x \right)} = - \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) 
f = -x/(x^2 - 1) - 2*x*log(x) + (x*x)*log(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)=0- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2.46249213602342x_{1} = 2.46249213602342
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*x)*log(x)^2 - 2*x*log(x) - x/(x^2 - 1).
(0⋅0log⁡(0)2−0⋅2log⁡(0))−0−1+02\left(0 \cdot 0 \log{\left(0 \right)}^{2} - 0 \cdot 2 \log{\left(0 \right)}\right) - \frac{0}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x2(x2−1)2+2xlog⁡(x)2+2xlog⁡(x)−2log⁡(x)−2−1x2−1=0\frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 2 x \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(x \right)} - 2 - \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x3(x2−1)3+3x(x2−1)2+log⁡(x)2+3log⁡(x)+1−1x)=02 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.455539933872368x_{1} = 0.455539933872368
x2=1.62490432539393x_{2} = 1.62490432539393
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(−4x3(x2−1)3+3x(x2−1)2+log⁡(x)2+3log⁡(x)+1−1x))=∞\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(−4x3(x2−1)3+3x(x2−1)2+log⁡(x)2+3log⁡(x)+1−1x))=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(−4x3(x2−1)3+3x(x2−1)2+log⁡(x)2+3log⁡(x)+1−1x))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(−4x3(x2−1)3+3x(x2−1)2+log⁡(x)2+3log⁡(x)+1−1x))=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} + \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.62490432539393,∞)\left[1.62490432539393, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.455539933872368]\left(-\infty, 0.455539933872368\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*x)*log(x)^2 - 2*x*log(x) - x/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)=x2log⁡(−x)2+2xlog⁡(−x)+xx2−1- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = x^{2} \log{\left(- x \right)}^{2} + 2 x \log{\left(- x \right)} + \frac{x}{x^{2} - 1}
- No
−xx2−1+(−2xlog⁡(x)+xxlog⁡(x)2)=−x2log⁡(−x)2−2xlog⁡(−x)−xx2−1- \frac{x}{x^{2} - 1} + \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = - x^{2} \log{\left(- x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(- x \right)} - \frac{x}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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