Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2x)ln(x)-1.5x^2+4x

Gráfico de la función y = (x^2-2x)ln(x)-1.5x^2+4x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                              2      
       / 2      \          3*x       
f(x) = \x  - 2*x/*log(x) - ---- + 4*x
                            2
f(x)=4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))f{\left(x \right)} = 4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) 
f = 4*x - 3*x^2/2 + (x^2 - 2*x)*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))=04 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x)*log(x) - 3*x^2/2 + 4*x.
((02−0)log⁡(0)−3⋅022)+0⋅4\left(\left(0^{2} - 0\right) \log{\left(0 \right)} - \frac{3 \cdot 0^{2}}{2}\right) + 0 \cdot 4
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x+(2x−2)log⁡(x)+4+x2−2xx=0- 3 x + \left(2 x - 2\right) \log{\left(x \right)} + 4 + \frac{x^{2} - 2 x}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=ex_{2} = e
Signos de extremos en los puntos:
(1, 5/2)

           2 
          e  
(E, 2*E - --)
          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=ex_{1} = e
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[e,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,e]\left[1, e\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)−3−x−2x+4(x−1)x=02 \log{\left(x \right)} - 3 - \frac{x - 2}{x} + \frac{4 \left(x - 1\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(1)x_{1} = e^{W\left(1\right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[eW(1),∞)\left[e^{W\left(1\right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,eW(1)]\left(-\infty, e^{W\left(1\right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x)*log(x) - 3*x^2/2 + 4*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))=−3x22−4x+(x2+2x)log⁡(−x)4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) = - \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x + \left(x^{2} + 2 x\right) \log{\left(- x \right)}
- No
4x+(−3x22+(x2−2x)log⁡(x))=3x22+4x−(x2+2x)log⁡(−x)4 x + \left(- \frac{3 x^{2}}{2} + \left(x^{2} - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) = \frac{3 x^{2}}{2} + 4 x - \left(x^{2} + 2 x\right) \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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