Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(9*x/25+2/5)-x^2

Gráfico de la función y = tan(9*x/25+2/5)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /9*x   2\    2
f(x) = tan|--- + -| - x 
          \ 25   5/
f(x)=−x2+tan⁡(9x25+25)f{\left(x \right)} = - x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)} 
f = -x^2 + tan((9*x)/25 + 2/5)
Gráfico de la función
-2.0-1.5-1.0-0.52.00.00.51.01.55-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+tan⁡(9x25+25)=0- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.961444255419424x_{1} = 0.961444255419424
x2=−0.480590966256586x_{2} = -0.480590966256586
x3=2.93012544017095x_{3} = 2.93012544017095
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan((9*x)/25 + 2/5) - x^2.
−02+tan⁡(0⋅925+25)- 0^{2} + \tan{\left(\frac{0 \cdot 9}{25} + \frac{2}{5} \right)}
Resultado:
f(0)=tan⁡(25)f{\left(0 \right)} = \tan{\left(\frac{2}{5} \right)}
Punto:
(0, tan(2/5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+9tan⁡2(9x25+25)25+925=0- 2 x + \frac{9 \tan^{2}{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)}}{25} + \frac{9}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=64.1915730803227x_{1} = 64.1915730803227
x2=12.3155026198663x_{2} = 12.3155026198663
x3=2.49717069143692x_{3} = 2.49717069143692
x4=3.85705557882671x_{4} = 3.85705557882671
x5=0.229405198193444x_{5} = 0.229405198193444
x6=37.9673837314335x_{6} = 37.9673837314335
Signos de extremos en los puntos:
(64.19157308032268, -4101.70016889609)

(12.315502619866267, -159.882540110287)

(2.4971706914369154, -2.64794138112417)

(3.8570555788267127, -19.3966218181961)

(0.22940519819344363, 0.471275271927531)

(37.96738373143345, -1427.03326921345)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=64.1915730803227x_{1} = 64.1915730803227
x2=2.49717069143692x_{2} = 2.49717069143692
x3=37.9673837314335x_{3} = 37.9673837314335
Puntos máximos de la función:
x3=12.3155026198663x_{3} = 12.3155026198663
x3=3.85705557882671x_{3} = 3.85705557882671
x3=0.229405198193444x_{3} = 0.229405198193444
Decrece en los intervalos
[64.1915730803227,∞)\left[64.1915730803227, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.49717069143692]∪[12.3155026198663,37.9673837314335]\left(-\infty, 2.49717069143692\right] \cup \left[12.3155026198663, 37.9673837314335\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(81(tan⁡2(9x+1025)+1)tan⁡(9x+1025)625−1)=02 \left(\frac{81 \left(\tan^{2}{\left(\frac{9 x + 10}{25} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{9 x + 10}{25} \right)}}{625} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−109−25atan⁡(−625162+3915971623+13625162+3915971623)9x_{1} = - \frac{10}{9} - \frac{25 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}}} \right)}}{9}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−109−25atan⁡(−625162+3915971623+13625162+3915971623)9,∞)\left[- \frac{10}{9} - \frac{25 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}}} \right)}}{9}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−109−25atan⁡(−625162+3915971623+13625162+3915971623)9]\left(-\infty, - \frac{10}{9} - \frac{25 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{625}{162} + \frac{\sqrt{391597}}{162}}} \right)}}{9}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−x2+tan⁡(9x25+25))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−x2+tan⁡(9x25+25))y = \lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan((9*x)/25 + 2/5) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−x2+tan⁡(9x25+25)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−x2+tan⁡(9x25+25)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+tan⁡(9x25+25)=−x2−tan⁡(9x25−25)- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)} = - x^{2} - \tan{\left(\frac{9 x}{25} - \frac{2}{5} \right)}
- No
−x2+tan⁡(9x25+25)=x2+tan⁡(9x25−25)- x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} + \frac{2}{5} \right)} = x^{2} + \tan{\left(\frac{9 x}{25} - \frac{2}{5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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