Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3cost

Gráfico de la función y = 3cost

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(t) = 3*cos(t)
f(t)=3cos⁡(t)f{\left(t \right)} = 3 \cos{\left(t \right)} 
f = 3*cos(t)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(t)=03 \cos{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
t1=−387.986692718339t_{1} = -387.986692718339
t2=−29.845130209103t_{2} = -29.845130209103
t3=−3626.96871856942t_{3} = -3626.96871856942
t4=−67.5442420521806t_{4} = -67.5442420521806
t5=−70.6858347057703t_{5} = -70.6858347057703
t6=64.4026493985908t_{6} = 64.4026493985908
t7=−36.1283155162826t_{7} = -36.1283155162826
t8=−92.6769832808989t_{8} = -92.6769832808989
t9=−61.261056745001t_{9} = -61.261056745001
t10=−76.9690200129499t_{10} = -76.9690200129499
t11=−98.9601685880785t_{11} = -98.9601685880785
t12=−95.8185759344887t_{12} = -95.8185759344887
t13=29.845130209103t_{13} = 29.845130209103
t14=80.1106126665397t_{14} = 80.1106126665397
t15=−64.4026493985908t_{15} = -64.4026493985908
t16=36.1283155162826t_{16} = 36.1283155162826
t17=73.8274273593601t_{17} = 73.8274273593601
t18=−2266.65909956504t_{18} = -2266.65909956504
t19=32.9867228626928t_{19} = 32.9867228626928
t20=−4.71238898038469t_{20} = -4.71238898038469
t21=−39.2699081698724t_{21} = -39.2699081698724
t22=26.7035375555132t_{22} = 26.7035375555132
t23=−7.85398163397448t_{23} = -7.85398163397448
t24=95.8185759344887t_{24} = 95.8185759344887
t25=−17.2787595947439t_{25} = -17.2787595947439
t26=−10.9955742875643t_{26} = -10.9955742875643
t27=98.9601685880785t_{27} = 98.9601685880785
t28=−86.3937979737193t_{28} = -86.3937979737193
t29=92.6769832808989t_{29} = 92.6769832808989
t30=−48.6946861306418t_{30} = -48.6946861306418
t31=54.9778714378214t_{31} = 54.9778714378214
t32=45.553093477052t_{32} = 45.553093477052
t33=23.5619449019235t_{33} = 23.5619449019235
t34=76.9690200129499t_{34} = 76.9690200129499
t35=−89.5353906273091t_{35} = -89.5353906273091
t36=4.71238898038469t_{36} = 4.71238898038469
t37=−26.7035375555132t_{37} = -26.7035375555132
t38=−80.1106126665397t_{38} = -80.1106126665397
t39=7.85398163397448t_{39} = 7.85398163397448
t40=14.1371669411541t_{40} = 14.1371669411541
t41=86.3937979737193t_{41} = 86.3937979737193
t42=−45.553093477052t_{42} = -45.553093477052
t43=−83.2522053201295t_{43} = -83.2522053201295
t44=70.6858347057703t_{44} = 70.6858347057703
t45=83.2522053201295t_{45} = 83.2522053201295
t46=48.6946861306418t_{46} = 48.6946861306418
t47=−20.4203522483337t_{47} = -20.4203522483337
t48=51.8362787842316t_{48} = 51.8362787842316
t49=10.9955742875643t_{49} = 10.9955742875643
t50=20.4203522483337t_{50} = 20.4203522483337
t51=1.5707963267949t_{51} = 1.5707963267949
t52=89.5353906273091t_{52} = 89.5353906273091
t53=17.2787595947439t_{53} = 17.2787595947439
t54=58.1194640914112t_{54} = 58.1194640914112
t55=61.261056745001t_{55} = 61.261056745001
t56=−32.9867228626928t_{56} = -32.9867228626928
t57=−51.8362787842316t_{57} = -51.8362787842316
t58=−14.1371669411541t_{58} = -14.1371669411541
t59=−58.1194640914112t_{59} = -58.1194640914112
t60=−42.4115008234622t_{60} = -42.4115008234622
t61=−54.9778714378214t_{61} = -54.9778714378214
t62=−1.5707963267949t_{62} = -1.5707963267949
t63=42.4115008234622t_{63} = 42.4115008234622
t64=39.2699081698724t_{64} = 39.2699081698724
t65=67.5442420521806t_{65} = 67.5442420521806
t66=−23.5619449019235t_{66} = -23.5619449019235
t67=−73.8274273593601t_{67} = -73.8274273593601
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 3*cos(t).
3cos⁡(0)3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(t)=0- 3 \sin{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
t2=πt_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)

(pi, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=πt_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(t)=0- 3 \cos{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(3cos⁡(t))=⟨−3,3⟩\lim_{t \to -\infty}\left(3 \cos{\left(t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡t→∞(3cos⁡(t))=⟨−3,3⟩\lim_{t \to \infty}\left(3 \cos{\left(t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(3cos⁡(t)t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(3cos⁡(t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(t)=3cos⁡(t)3 \cos{\left(t \right)} = 3 \cos{\left(t \right)}
- Sí
3cos⁡(t)=−3cos⁡(t)3 \cos{\left(t \right)} = - 3 \cos{\left(t \right)}
- No
es decir, función
es
par
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