Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(cos((x)^(1/2)))

Gráfico de la función y = ln(cos((x)^(1/2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   /  ___\\
f(x) = log\cos\\/ x //
f(x)=log⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} 
f = log(cos(sqrt(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(x))=0\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=4π2x_{2} = 4 \pi^{2}
Solución numérica
x1=39.4784196931281x_{1} = 39.4784196931281
x2=39.4784062959722x_{2} = 39.4784062959722
x3=39.4784103413578x_{3} = 39.4784103413578
x4=0x_{4} = 0
x5=39.4784244809486x_{5} = 39.4784244809486
x6=39.4784254541406x_{6} = 39.4784254541406
x7=39.4784188022266x_{7} = 39.4784188022266
x8=39.4784159867671x_{8} = 39.4784159867671
x9=39.4784134938697x_{9} = 39.4784134938697
x10=39.4784179014877x_{10} = 39.4784179014877
x11=39.4784054103828x_{11} = 39.4784054103828
x12=39.4784119202347x_{12} = 39.4784119202347
x13=39.4784122864094x_{13} = 39.4784122864094
x14=39.4784005773107x_{14} = 39.4784005773107
x15=39.4784279368965x_{15} = 39.4784279368965
x16=39.4784216040526x_{16} = 39.4784216040526
x17=39.4784169897246x_{17} = 39.4784169897246
x18=39.4784135502088x_{18} = 39.4784135502088
x19=39.4784219268824x_{19} = 39.4784219268824
x20=39.4784064029087x_{20} = 39.4784064029087
x21=39.47842522874x_{21} = 39.47842522874
x22=39.4784232400798x_{22} = 39.4784232400798
x23=39.4784227155226x_{23} = 39.4784227155226
x24=39.4784206139581x_{24} = 39.4784206139581
x25=39.478414864914x_{25} = 39.478414864914
x26=39.4784202473119x_{26} = 39.4784202473119
x27=39.4784183157447x_{27} = 39.4784183157447
x28=39.4784097343173x_{28} = 39.4784097343173
x29=39.4784198232879x_{29} = 39.4784198232879
x30=39.4783997423329x_{30} = 39.4783997423329
x31=39.4784233518974x_{31} = 39.4784233518974
x32=39.4784233026603x_{32} = 39.4784233026603
x33=39.4784249348881x_{33} = 39.4784249348881
x34=39.4784315267865x_{34} = 39.4784315267865
x35=39.4784256755471x_{35} = 39.4784256755471
x36=39.4784237672926x_{36} = 39.4784237672926
x37=39.4784160944136x_{37} = 39.4784160944136
x38=39.4784240272617x_{38} = 39.4784240272617
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(sqrt(x))).
log⁡(cos⁡(0))\log{\left(\cos{\left(\sqrt{0} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(x)xcos⁡2(x)−1x+sin⁡(x)x32cos⁡(x)4=0\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - \frac{1}{x} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−626322972.280157x_{1} = -626322972.280157

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(sqrt(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(x))=log⁡(cos⁡(−x))\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \log{\left(\cos{\left(\sqrt{- x} \right)} \right)}
- No
log⁡(cos⁡(x))=−log⁡(cos⁡(−x))\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = - \log{\left(\cos{\left(\sqrt{- x} \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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