Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (tan(x))^x

Gráfico de la función y = (tan(x))^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x   
f(x) = tan (x)
f(x)=tan⁡x(x)f{\left(x \right)} = \tan^{x}{\left(x \right)} 
f = tan(x)^x
Gráfico de la función
1.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡x(x)=0\tan^{x}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=53.8436169303696x_{1} = 53.8436169303696
x2=28.25x_{2} = 28.25
x3=37.8800800524575x_{3} = 37.8800800524575
x4=66x_{4} = 66
x5=97.9951982693064x_{5} = 97.9951982693064
x6=−45.6793359986089x_{6} = -45.6793359986089
x7=59.916039647901x_{7} = 59.916039647901
x8=88x_{8} = 88
x9=−67.75x_{9} = -67.75
x10=−17.4299980119597x_{10} = -17.4299980119597
x11=−89.75x_{11} = -89.75
x12=−95.75x_{12} = -95.75
x13=75.885164523268x_{13} = 75.885164523268
x14=44x_{14} = 44
x15=−39.5697523967764x_{15} = -39.5697523967764
x16=−80x_{16} = -80
x17=−23.6402581735899x_{17} = -23.6402581735899
x18=72.25x_{18} = 72.25
x19=−73.7510427993738x_{19} = -73.7510427993738
x20=81.9963580491928x_{20} = 81.9963580491928
x21=31.7552540121027x_{21} = 31.7552540121027
x22=−1.57079632688845x_{22} = -1.57079632688845
x23=94.25x_{23} = 94.25
x24=50.25x_{24} = 50.25
x25=15.7898466511302x_{25} = 15.7898466511302
x26=100.25x_{26} = 100.25
x27=−61.6254086149945x_{27} = -61.6254086149945
x28=−58.0007743408368x_{28} = -58.0007743408368
x29=−83.6545192944304x_{29} = -83.6545192944304
x30=22x_{30} = 22
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)^x.
tan⁡0(0)\tan^{0}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+log⁡(tan⁡(x)))tan⁡x(x)=0\left(\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) \tan^{x}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=22x_{1} = 22
x2=97.9951818456501x_{2} = 97.9951818456501
x3=−83.6538651013234x_{3} = -83.6538651013234
x4=−61.6242218097141x_{4} = -61.6242218097141
x5=66x_{5} = 66
x6=75.8845190333975x_{6} = 75.8845190333975
x7=37.8778169622965x_{7} = 37.8778169622965
x8=−17.4210936434755x_{8} = -17.4210936434755
x9=88x_{9} = 88
x10=−67.75x_{10} = -67.75
x11=−89.75x_{11} = -89.75
x12=31.7515031371722x_{12} = 31.7515031371722
x13=−45.6781251558705x_{13} = -45.6781251558705
x14=59.9149797398055x_{14} = 59.9149797398055
x15=44x_{15} = 44
x16=50.25x_{16} = 50.25
x17=−95.75x_{17} = -95.75
x18=81.9963214691305x_{18} = 81.9963214691305
x19=−39.5670679670008x_{19} = -39.5670679670008
x20=53.8422883486086x_{20} = 53.8422883486086
x21=100.25x_{21} = 100.25
x22=15.7831514842069x_{22} = 15.7831514842069
x23=94.2499761854138x_{23} = 94.2499761854138
x24=−73.75x_{24} = -73.75
x25=72.25x_{25} = 72.25
x26=−23.6372786483921x_{26} = -23.6372786483921
Signos de extremos en los puntos:
(22, 6.83187094981182e-46)

(97.99518184565014, 2.36687708367826e-16)

(-83.6538651013234, 7.79851559203037e-32)

(-61.62422180971407, 1.27628104018984e-26)

(66, 9.99105712542129e-105)

(75.88451903339745, 9.81885992637364e-22)

(37.87781696229653, 7.06338859028276e-29)

(-17.421093643475487, 2.00008590425606e-15)

(88, 2.15980200874517e-128)

(-67.75, 7.93029382124975e-47)

(-89.75, 4.17243299893907e-60)

(31.751503137172204, 2.98427926962307e-15)

(-45.67812515587051, 7.19982890529258e-42)

(59.91497973980549, 3.95174870667528e-39)

(44, 8.2394153776472e-78)

(50.25, 7.77469820229931e-92 + 7.77469820229931e-92*I)

(-95.75, 3.00735602338867e-112 + 3.00735602338868e-112*I)

(81.99632146913052, 1.14446387915099e-40)

(-39.567067967000824, 4.6158012853355e-21)

(53.842288348608626, 1.23648322421197e-18)

(100.25, 5.54739083204328e-55 + 5.54739083204328e-55*I)

(15.78315148420693, 1.88380380368045e-18)

(94.24997618541377, 2.88233036339682e-251)

(-73.75, 9.32277575272275e-83 + 9.32277575272275e-83*I)

(72.25, 2.87861623966704e-158 + 2.87861623966704e-158*I)

(-23.63727864839211, 2.98218635489929e-27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+log⁡(tan⁡(x)))2+(tan⁡2(x)+1)(−x(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+2x+2tan⁡(x)))tan⁡x(x)=0\left(\left(\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)^{2} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 x + \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}\right)\right) \tan^{x}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−45.6768751612188x_{1} = -45.6768751612188
x2=75.8838801575171x_{2} = 75.8838801575171
x3=−89.75x_{3} = -89.75
x4=−39.5643421039365x_{4} = -39.5643421039365
x5=−67.7469488959898x_{5} = -67.7469488959898
x6=−83.6532090997513x_{6} = -83.6532090997513
x7=−61.6230271971439x_{7} = -61.6230271971439
x8=100.25x_{8} = 100.25
x9=50.25x_{9} = 50.25
x10=44x_{10} = 44
x11=72.25x_{11} = 72.25
x12=88x_{12} = 88
x13=37.8754801929173x_{13} = 37.8754801929173
x14=66x_{14} = 66
x15=81.9962855565677x_{15} = 81.9962855565677
x16=22x_{16} = 22
x17=53.8409697716538x_{17} = 53.8409697716538
x18=−23.63415734845x_{18} = -23.63415734845
x19=15.7761864798511x_{19} = 15.7761864798511
x20=3.1415926535898x_{20} = 3.1415926535898
x21=94.2499759271997x_{21} = 94.2499759271997
x22=59.9138975425801x_{22} = 59.9138975425801

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3.1415926535898,∞)\left[3.1415926535898, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3.1415926535898]\left(-\infty, 3.1415926535898\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞tan⁡x(x)y = \lim_{x \to -\infty} \tan^{x}{\left(x \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞tan⁡x(x)y = \lim_{x \to \infty} \tan^{x}{\left(x \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡x(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{x}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡x(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{x}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡x(x)=(−tan⁡(x))−x\tan^{x}{\left(x \right)} = \left(- \tan{\left(x \right)}\right)^{- x}
- No
tan⁡x(x)=−(−tan⁡(x))−x\tan^{x}{\left(x \right)} = - \left(- \tan{\left(x \right)}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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