Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29280.6602860566$$
$$x_{2} = 40389.9216425609$$
$$x_{3} = 32615.614587406$$
$$x_{4} = 49238.845509605$$
$$x_{5} = 37060.8599029189$$
$$x_{6} = 56945.7425275945$$
$$x_{7} = 60238.8611882022$$
$$x_{8} = 50341.8623759292$$
$$x_{9} = 21557.4708623094$$
$$x_{10} = 58044.083415075$$
$$x_{11} = 25952.4229092183$$
$$x_{12} = 45925.6414944865$$
$$x_{13} = 38171.1164195739$$
$$x_{14} = 42606.2223123429$$
$$x_{15} = 27060.3604964733$$
$$x_{16} = 53646.8120762067$$
$$x_{17} = 51444.1922267006$$
$$x_{18} = 24846.9041072732$$
$$x_{19} = 8.75850139245233$$
$$x_{20} = 39280.8174200104$$
$$x_{21} = 59141.7867742053$$
$$x_{22} = 41498.3977410718$$
$$x_{23} = 47030.7366098686$$
$$x_{24} = 48135.1377342732$$
$$x_{25} = 33727.3768885467$$
$$x_{26} = 22647.6734132483$$
$$x_{27} = 54747.1148258963$$
$$x_{28} = 52545.8401260386$$
$$x_{29} = 28169.9602471575$$
$$x_{30} = 34838.9107991473$$
$$x_{31} = 20477.2720369415$$
$$x_{32} = 31503.7714729962$$
$$x_{33} = 30392.0378560872$$
$$x_{34} = 44819.8539662132$$
$$x_{35} = 23744.8394019495$$
$$x_{36} = 55846.7557118197$$
$$x_{37} = 43713.3783411671$$
$$x_{38} = 19411.7256059838$$
$$x_{39} = 35950.1015682861$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}}{x + 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}}{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[8.75850139245233, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.75850139245233\right]$$