Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{6 \left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 28314.7154917563$$
$$x_{2} = 32551.5425068583$$
$$x_{3} = -23947.1466510987$$
$$x_{4} = 35093.779687826$$
$$x_{5} = 39331.0097135172$$
$$x_{6} = 30009.4049536306$$
$$x_{7} = 31704.1510448289$$
$$x_{8} = 33398.9449761446$$
$$x_{9} = -33267.7423304935$$
$$x_{10} = -27336.2076762077$$
$$x_{11} = -24794.3762315391$$
$$x_{12} = -34115.1534575355$$
$$x_{13} = 25772.8125401644$$
$$x_{14} = 41873.4257687622$$
$$x_{15} = -29878.2097481351$$
$$x_{16} = 41025.9482021928$$
$$x_{17} = -23099.945341686$$
$$x_{18} = 23231.1143420033$$
$$x_{19} = 36788.6494441226$$
$$x_{20} = 24078.3202113117$$
$$x_{21} = -25641.6312081969$$
$$x_{22} = -36657.4413545881$$
$$x_{23} = -38352.339257922$$
$$x_{24} = 35941.2105008541$$
$$x_{25} = -42589.6937964439$$
$$x_{26} = -40894.7351423152$$
$$x_{27} = 40178.4760648726$$
$$x_{28} = 24925.5538814716$$
$$x_{29} = -28183.5250747241$$
$$x_{30} = 26620.0937420503$$
$$x_{31} = 29162.0525130941$$
$$x_{32} = -41742.2118943561$$
$$x_{33} = -39199.7984464382$$
$$x_{34} = -37504.8867371065$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{36} = 38483.5495367928$$
$$x_{37} = 30856.7715161081$$
$$x_{38} = -29030.8595949273$$
$$x_{39} = 37636.0959589748$$
$$x_{40} = -35810.0036263174$$
$$x_{41} = -31572.9518145119$$
$$x_{42} = -30725.5742133958$$
$$x_{43} = -40047.2638725365$$
$$x_{44} = -34962.5741191978$$
$$x_{45} = 42720.9084365985$$
$$x_{46} = -26488.9090832887$$
$$x_{47} = 27467.3953507958$$
$$x_{48} = 34246.3576200426$$
$$x_{49} = -32420.3415007389$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$