Sr Examen

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atan(x)^(3)
Trazado el gráfico de la función/ atan(x)^(3)

Gráfico de la función y = atan(x)^(3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3   
f(x) = atan (x)
f(x)=atan⁡3(x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} 
f = atan(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡3(x)=0\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−8.05479559658417⋅10−5x_{1} = -8.05479559658417 \cdot 10^{-5}
x2=4.06659991488501⋅10−5x_{2} = 4.06659991488501 \cdot 10^{-5}
x3=1.72678950081044⋅10−5x_{3} = 1.72678950081044 \cdot 10^{-5}
x4=−5.01042639504688⋅10−5x_{4} = -5.01042639504688 \cdot 10^{-5}
x5=−8.0180437059514⋅10−5x_{5} = -8.0180437059514 \cdot 10^{-5}
x6=0x_{6} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)^3.
atan⁡3(0)\operatorname{atan}^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3atan⁡2(x)x2+1=0\frac{3 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(−xatan⁡(x)+1)atan⁡(x)(x2+1)2=0\frac{6 \left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=28314.7154917563x_{1} = 28314.7154917563
x2=32551.5425068583x_{2} = 32551.5425068583
x3=−23947.1466510987x_{3} = -23947.1466510987
x4=35093.779687826x_{4} = 35093.779687826
x5=39331.0097135172x_{5} = 39331.0097135172
x6=30009.4049536306x_{6} = 30009.4049536306
x7=31704.1510448289x_{7} = 31704.1510448289
x8=33398.9449761446x_{8} = 33398.9449761446
x9=−33267.7423304935x_{9} = -33267.7423304935
x10=−27336.2076762077x_{10} = -27336.2076762077
x11=−24794.3762315391x_{11} = -24794.3762315391
x12=−34115.1534575355x_{12} = -34115.1534575355
x13=25772.8125401644x_{13} = 25772.8125401644
x14=41873.4257687622x_{14} = 41873.4257687622
x15=−29878.2097481351x_{15} = -29878.2097481351
x16=41025.9482021928x_{16} = 41025.9482021928
x17=−23099.945341686x_{17} = -23099.945341686
x18=23231.1143420033x_{18} = 23231.1143420033
x19=36788.6494441226x_{19} = 36788.6494441226
x20=24078.3202113117x_{20} = 24078.3202113117
x21=−25641.6312081969x_{21} = -25641.6312081969
x22=−36657.4413545881x_{22} = -36657.4413545881
x23=−38352.339257922x_{23} = -38352.339257922
x24=35941.2105008541x_{24} = 35941.2105008541
x25=−42589.6937964439x_{25} = -42589.6937964439
x26=−40894.7351423152x_{26} = -40894.7351423152
x27=40178.4760648726x_{27} = 40178.4760648726
x28=24925.5538814716x_{28} = 24925.5538814716
x29=−28183.5250747241x_{29} = -28183.5250747241
x30=26620.0937420503x_{30} = 26620.0937420503
x31=29162.0525130941x_{31} = 29162.0525130941
x32=−41742.2118943561x_{32} = -41742.2118943561
x33=−39199.7984464382x_{33} = -39199.7984464382
x34=−37504.8867371065x_{34} = -37504.8867371065
x35=0x_{35} = 0
x36=38483.5495367928x_{36} = 38483.5495367928
x37=30856.7715161081x_{37} = 30856.7715161081
x38=−29030.8595949273x_{38} = -29030.8595949273
x39=37636.0959589748x_{39} = 37636.0959589748
x40=−35810.0036263174x_{40} = -35810.0036263174
x41=−31572.9518145119x_{41} = -31572.9518145119
x42=−30725.5742133958x_{42} = -30725.5742133958
x43=−40047.2638725365x_{43} = -40047.2638725365
x44=−34962.5741191978x_{44} = -34962.5741191978
x45=42720.9084365985x_{45} = 42720.9084365985
x46=−26488.9090832887x_{46} = -26488.9090832887
x47=27467.3953507958x_{47} = 27467.3953507958
x48=34246.3576200426x_{48} = 34246.3576200426
x49=−32420.3415007389x_{49} = -32420.3415007389

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡3(x)=−π38\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} = - \frac{\pi^{3}}{8}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π38y = - \frac{\pi^{3}}{8}
lim⁡x→∞atan⁡3(x)=π38\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} = \frac{\pi^{3}}{8}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π38y = \frac{\pi^{3}}{8}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡3(x)=−atan⁡3(x)\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}
- No
atan⁡3(x)=atan⁡3(x)\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = atan(x)^(3)
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