Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{10 x^{3} \left(- \frac{5 x^{10}}{x^{10} + 1} + 2\right)}{x^{10} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt[10]{2} \cdot 3^{\frac{9}{10}}}{3}, \infty\right)$$