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Trazado el gráfico de la función/ atan(x^2-1)^(1/2)-log(x)/(x^2-1)^(1/2)

Gráfico de la función y = atan(x^2-1)^(1/2)-log(x)/(x^2-1)^(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________              
         /     / 2    \       log(x)  
f(x) = \/  atan\x  - 1/  - -----------
                              ________
                             /  2     
                           \/  x  - 1
f(x)=atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1f{\left(x \right)} = \sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}} 
f = sqrt(atan(x^2 - 1)) - log(x)/sqrt(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1=0\sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(atan(x^2 - 1)) - log(x)/sqrt(x^2 - 1).
−log⁡(0)−1+02+atan⁡(−1+02)- \frac{\log{\left(0 \right)}}{\sqrt{-1 + 0^{2}}} + \sqrt{\operatorname{atan}{\left(-1 + 0^{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1)=2π2\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2π2y = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
lim⁡x→∞(atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1)=2π2\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2π2y = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1=atan⁡(x2−1)−log⁡(−x)x2−1\sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(- x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}
- No
atan⁡(x2−1)−log⁡(x)x2−1=−atan⁡(x2−1)+log⁡(−x)x2−1\sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = - \sqrt{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 1 \right)}} + \frac{\log{\left(- x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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