Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.160910445510244$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(-0.766307830610298 + 0.642473586029292 i\right)$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(0.766307830610298 - 0.642473586029292 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(-0.665288407805716 + 0.746586454765511 i\right)$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(0.665288407805716 - 0.746586454765511 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.160910445510244\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.160910445510244, \infty\right)$$