Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsinx/(x^2-x-6)

Gráfico de la función y = arcsinx/(x^2-x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        asin(x)  
f(x) = ----------
        2        
       x  - x - 6
f(x)=asin⁡(x)(x2−x)−6f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6} 
f = asin(x)/(x^2 - x - 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x)(x2−x)−6=0\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x)/(x^2 - x - 6).
asin⁡(0)−6+(02−0)\frac{\operatorname{asin}{\left(0 \right)}}{-6 + \left(0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−2x)asin⁡(x)((x2−x)−6)2+11−x2((x2−x)−6)=0\frac{\left(1 - 2 x\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right)^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(1−x2)32+2((2x−1)2−x2+x+6+1)asin⁡(x)−x2+x+6+2(2x−1)1−x2(−x2+x+6)−x2+x+6=0- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.160910445510244x_{1} = 0.160910445510244
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→−2−(−x(1−x2)32+2((2x−1)2−x2+x+6+1)asin⁡(x)−x2+x+6+2(2x−1)1−x2(−x2+x+6)−x2+x+6)=∞(−0.766307830610298+0.642473586029292i)\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(-0.766307830610298 + 0.642473586029292 i\right)
lim⁡x→−2+(−x(1−x2)32+2((2x−1)2−x2+x+6+1)asin⁡(x)−x2+x+6+2(2x−1)1−x2(−x2+x+6)−x2+x+6)=∞(0.766307830610298−0.642473586029292i)\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(0.766307830610298 - 0.642473586029292 i\right)
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→3−(−x(1−x2)32+2((2x−1)2−x2+x+6+1)asin⁡(x)−x2+x+6+2(2x−1)1−x2(−x2+x+6)−x2+x+6)=∞(−0.665288407805716+0.746586454765511i)\lim_{x \to 3^-}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(-0.665288407805716 + 0.746586454765511 i\right)
lim⁡x→3+(−x(1−x2)32+2((2x−1)2−x2+x+6+1)asin⁡(x)−x2+x+6+2(2x−1)1−x2(−x2+x+6)−x2+x+6)=∞(0.665288407805716−0.746586454765511i)\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 6} + 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x^{2} + x + 6} + \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{2} + x + 6\right)}}{- x^{2} + x + 6}\right) = \infty \left(0.665288407805716 - 0.746586454765511 i\right)
- los límites no son iguales, signo
x2=3x_{2} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.160910445510244]\left(-\infty, 0.160910445510244\right]
Convexa en los intervalos
[0.160910445510244,∞)\left[0.160910445510244, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(asin⁡(x)(x2−x)−6)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(asin⁡(x)(x2−x)−6)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x)/(x^2 - x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x)x((x2−x)−6))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x)x((x2−x)−6))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x)(x2−x)−6=−asin⁡(x)x2+x−6\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{2} + x - 6}
- No
asin⁡(x)(x2−x)−6=asin⁡(x)x2+x−6\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 6} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{2} + x - 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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