Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(1+x*e^x)

Gráfico de la función y = ln(1+x*e^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       x\
f(x) = log\1 + x*E /
f(x)=log⁡(exx+1)f{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} x + 1 \right)} 
f = log(E^x*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(exx+1)=0\log{\left(e^{x} x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−68.3902062873328x_{1} = -68.3902062873328
x2=−84x_{2} = -84
x3=−51.4230249902084x_{3} = -51.4230249902084
x4=−35.8463657800623x_{4} = -35.8463657800623
x5=−49.4541900943659x_{5} = -49.4541900943659
x6=−32.0909021548071x_{6} = -32.0909021548071
x7=−39.6870580531337x_{7} = -39.6870580531337
x8=−65.2745896870724x_{8} = -65.2745896870724
x9=0x_{9} = 0
x10=−88x_{10} = -88
x11=−80x_{11} = -80
x12=−66.8514041634729x_{12} = -66.8514041634729
x13=−59.3260592560949x_{13} = -59.3260592560949
x14=−63.2846768535693x_{14} = -63.2846768535693
x15=−86x_{15} = -86
x16=−43.5740005000142x_{16} = -43.5740005000142
x17=−66.9406028058353x_{17} = -66.9406028058353
x18=−66.7759095836843x_{18} = -66.7759095836843
x19=−96x_{19} = -96
x20=−55.3698896441125x_{20} = -55.3698896441125
x21=−82x_{21} = -82
x22=−45.5287883402443x_{22} = -45.5287883402443
x23=−72x_{23} = -72
x24=−76x_{24} = -76
x25=−74x_{25} = -74
x26=−57.3470368283057x_{26} = -57.3470368283057
x27=−70x_{27} = -70
x28=−67.0722137834037x_{28} = -67.0722137834037
x29=−67.5277777777778x_{29} = -67.5277777777778
x30=−61.3054048101071x_{30} = -61.3054048101071
x31=−47.4891864918913x_{31} = -47.4891864918913
x32=−67.1711270535139x_{32} = -67.1711270535139
x33=−67.6748451523506x_{33} = -67.6748451523506
x34=−98x_{34} = -98
x35=−37.7592399735773x_{35} = -37.7592399735773
x36=−68x_{36} = -68
x37=−53.3950832416529x_{37} = -53.3950832416529
x38=−41.6261544186546x_{38} = -41.6261544186546
x39=−78x_{39} = -78
x40=−67.2178743179732x_{40} = -67.2178743179732
x41=−100x_{41} = -100
x42=−33.9539832026336x_{42} = -33.9539832026336
x43=−92x_{43} = -92
x44=−94x_{44} = -94
x45=−66.6456548044949x_{45} = -66.6456548044949
x46=−90x_{46} = -90
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + x*E^x).
log⁡(0e0+1)\log{\left(0 e^{0} + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+xexexx+1=0\frac{e^{x} + x e^{x}}{e^{x} x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
        /     -1\ 
(-1, log\1 - e  /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−(x+1)2exxex+1+2)exxex+1=0\frac{\left(x - \frac{\left(x + 1\right)^{2} e^{x}}{x e^{x} + 1} + 2\right) e^{x}}{x e^{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2−W(−1e2)x_{1} = -2 - W\left(- \frac{1}{e^{2}}\right)
x2=−2−W−1(−1e2)x_{2} = -2 - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{2}}\right)

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2−W(−1e2),−2−W−1(−1e2)]\left[-2 - W\left(- \frac{1}{e^{2}}\right), -2 - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{2}}\right)\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2−W(−1e2)]∪[−2−W−1(−1e2),∞)\left(-\infty, -2 - W\left(- \frac{1}{e^{2}}\right)\right] \cup \left[-2 - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{2}}\right), \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(exx+1)=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(e^{x} x + 1 \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(exx+1)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(e^{x} x + 1 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + x*E^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(exx+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(exx+1)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(exx+1)=log⁡(−xe−x+1)\log{\left(e^{x} x + 1 \right)} = \log{\left(- x e^{- x} + 1 \right)}
- No
log⁡(exx+1)=−log⁡(−xe−x+1)\log{\left(e^{x} x + 1 \right)} = - \log{\left(- x e^{- x} + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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