Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(ln(x))

Gráfico de la función y = cos(ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(log(x))
f(x)=cos⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} 
f = cos(log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(log⁡(x))=0\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=eπ2x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}
x2=e3π2x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{2}}
Solución numérica
x1=4.81047738096535x_{1} = 4.81047738096535
x2=2575.97049659757x_{2} = 2575.97049659757
x3=111.317778489856x_{3} = 111.317778489856
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(log(x)).
cos⁡(log⁡(0))\cos{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(log⁡(x))x=0- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=eπx_{2} = e^{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)

  pi     
(e , -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=eπx_{1} = e^{\pi}
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[eπ,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{\pi}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,eπ]\left[1, e^{\pi}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x))x2=0\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eπ4x_{1} = e^{\frac{\pi}{4}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[eπ4,∞)\left[e^{\frac{\pi}{4}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,eπ4]\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{4}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(log⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(log⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(log⁡(x))=cos⁡(log⁡(−x))\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
cos⁡(log⁡(x))=−cos⁡(log⁡(−x))\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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