Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(lnx^2)

Gráfico de la función y = cos(lnx^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   2   \
f(x) = cos\log (x)/
f(x)=cos⁡(log⁡(x)2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} 
f = cos(log(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(log⁡(x)2)=0\cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−2π2x_{1} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}}
x2=e2π2x_{2} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}}
x3=e−6π2x_{3} = e^{- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}}
x4=e6π2x_{4} = e^{\frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}}
Solución numérica
x1=312.12598482042x_{1} = 312.12598482042
x2=3.50192962259552x_{2} = 3.50192962259552
x3=16.4857374181597x_{3} = 16.4857374181597
x4=42.9459527337254x_{4} = 42.9459527337254
x5=175.483771796016x_{5} = 175.483771796016
x6=63.865080305737x_{6} = 63.865080305737
x7=27.5487599026619x_{7} = 27.5487599026619
x8=91.7335689932553x_{8} = 91.7335689932553
x9=8.7653264611481x_{9} = 8.7653264611481
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(log(x)^2).
cos⁡(log⁡(0)2)\cos{\left(\log{\left(0 \right)}^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)2)x=0- \frac{2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=e−πx_{2} = e^{- \sqrt{\pi}}
x3=eπx_{3} = e^{\sqrt{\pi}}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)

     ____     
  -\/ pi      
(e      , -1)

    ____     
  \/ pi      
(e     , -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−πx_{1} = e^{- \sqrt{\pi}}
x2=eπx_{2} = e^{\sqrt{\pi}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[eπ,∞)\left[e^{\sqrt{\pi}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−π]\left(-\infty, e^{- \sqrt{\pi}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2log⁡(x)2cos⁡(log⁡(x)2)+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)2)−sin⁡(log⁡(x)2))x2=0\frac{2 \left(- 2 \log{\left(x \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} - \sin{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=42.391672714506x_{1} = 42.391672714506
x2=3.39820763903788x_{2} = 3.39820763903788
x3=90.863105833431x_{3} = 90.863105833431
x4=16.1508219819342x_{4} = 16.1508219819342
x5=63.1669364610808x_{5} = 63.1669364610808
x6=8.51727178841714x_{6} = 8.51727178841714
x7=27.1141331952268x_{7} = 27.1141331952268

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[90.863105833431,∞)\left[90.863105833431, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3.39820763903788]\left(-\infty, 3.39820763903788\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(log⁡(x)2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(log⁡(x)2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(log⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(log⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(log⁡(x)2)=cos⁡(log⁡(−x)2)\cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} = \cos{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} \right)}
- No
cos⁡(log⁡(x)2)=−cos⁡(log⁡(−x)2)\cos{\left(\log{\left(x \right)}^{2} \right)} = - \cos{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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