Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctanx+arccos(x/(x^2+1)^0,5)

Gráfico de la función y = arctanx+arccos(x/(x^2+1)^0,5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     /     x     \
f(x) = atan(x) + acos|-----------|
                     |   ________|
                     |  /  2     |
                     \\/  x  + 1 /
f(x)=acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} 
f = acos(x/sqrt(x^2 + 1)) + atan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.5707963267948951.570796326794900
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x) + acos(x/sqrt(x^2 + 1)).
atan⁡(0)+acos⁡(002+1)\operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \operatorname{acos}{\left(\frac{0}{\sqrt{0^{2} + 1}} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−x2(x2+1)32+1x2+1−x2x2+1+1+1x2+1=0- \frac{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(−2(x2+1)2+3−x2x2+1+1(x2+1)32−(x2x2+1−1)2(x2+1)32(−x2x2+1+1)32)=0x \left(- \frac{2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x))=π2\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞(acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x))=π2\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x) + acos(x/sqrt(x^2 + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)=acos⁡(−xx2+1)−atan⁡(x)\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- No
acos⁡(xx2+1)+atan⁡(x)=−acos⁡(−xx2+1)+atan⁡(x)\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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