Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- (dos *x+ uno)/sqrt(x- uno)
- (2 multiplicar por x más 1) dividir por raíz cuadrada de (x menos 1)
- (dos multiplicar por x más uno) dividir por raíz cuadrada de (x menos uno)
- (2*x+1)/√(x-1)
- (2x+1)/sqrt(x-1)
- 2x+1/sqrtx-1
- (2*x+1) dividir por sqrt(x-1)
-
Expresiones semejantes
- (2*x+1)/sqrt(x+1)
- (2x+1)/(sqrt(x-1))
- (2*x-1)/sqrt(x-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-(x-3)^2)
- sqrt(x)^2+10*x+19
- sqrt(2/10)*sin(5*pi*x/10)
- sqrt(x^3/(x^3+x^5))
- sqrt((|x^2-4|))
Gráfico de la función y = (2*x+1)/sqrt(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 1
f(x) = ---------
_______
\/ x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}$$
f = (2*x + 1)/sqrt(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2 x + 1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2 x + 1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ (5/2, 2*\/ 6 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/sqrt(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar