Sr Examen

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e^x*sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ e^x*sin(x)

Gráfico de la función y = e^x*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x       
f(x) = E *sin(x)
f(x)=exsin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)} 
f = E^x*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exsin⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=31.4159265358979x_{4} = 31.4159265358979
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=−37.6991118430775x_{6} = -37.6991118430775
x7=−81.6814089933346x_{7} = -81.6814089933346
x8=−84.8230016469244x_{8} = -84.8230016469244
x9=−21.9911485751286x_{9} = -21.9911485751286
x10=−15.707963267949x_{10} = -15.707963267949
x11=−12.5663706143592x_{11} = -12.5663706143592
x12=12.5663706143592x_{12} = 12.5663706143592
x13=−87.9645943005142x_{13} = -87.9645943005142
x14=−100.530964914873x_{14} = -100.530964914873
x15=−3.14159265358979x_{15} = -3.14159265358979
x16=34.5575191894877x_{16} = 34.5575191894877
x17=−94.2477796076938x_{17} = -94.2477796076938
x18=6.28318530717959x_{18} = 6.28318530717959
x19=−43.40963181907x_{19} = -43.40963181907
x20=−69.1150383789755x_{20} = -69.1150383789755
x21=0x_{21} = 0
x22=15.707963267949x_{22} = 15.707963267949
x23=−25.1327412287183x_{23} = -25.1327412287183
x24=−50.2654824574367x_{24} = -50.2654824574367
x25=3.14159265358979x_{25} = 3.14159265358979
x26=−18.8495559215388x_{26} = -18.8495559215388
x27=18.8495559215388x_{27} = 18.8495559215388
x28=−78.5398163397448x_{28} = -78.5398163397448
x29=−53.4070751110265x_{29} = -53.4070751110265
x30=−43.9822971502571x_{30} = -43.9822971502571
x31=−6.28318530717959x_{31} = -6.28318530717959
x32=−65.9734457253857x_{32} = -65.9734457253857
x33=25.1327412287183x_{33} = 25.1327412287183
x34=−28.2743338823081x_{34} = -28.2743338823081
x35=−34.5575191894877x_{35} = -34.5575191894877
x36=−47.1238898038469x_{36} = -47.1238898038469
x37=−75.398223686155x_{37} = -75.398223686155
x38=−9.42477796076938x_{38} = -9.42477796076938
x39=−72.2566310325652x_{39} = -72.2566310325652
x40=−31.4159265358979x_{40} = -31.4159265358979
x41=28.2743338823081x_{41} = 28.2743338823081
x42=−91.106186954104x_{42} = -91.106186954104
x43=21.9911485751286x_{43} = 21.9911485751286
x44=9.42477796076938x_{44} = 9.42477796076938
x45=−40.8407044966673x_{45} = -40.8407044966673
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*sin(x).
e0sin⁡(0)e^{0} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exsin⁡(x)+excos⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
               -pi   
               ----  
          ___   4    
 -pi   -\/ 2 *e      
(----, -------------)
  4          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2excos⁡(x)=02 e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exsin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exsin⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exsin⁡(x)=−e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = - e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
exsin⁡(x)=e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^x*sin(x)
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