Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{60 \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{9 x \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)} - 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{200}{409}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{60 \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{9 x \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)} - 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = -53.3333333333333$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{60 \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{9 x \left(\frac{2 x}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)} - 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = -53.3333333333333$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{200}{409}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{200}{409}, \infty\right)$$