Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(sqrt(x))^2

Gráfico de la función y = sin(sqrt(x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2/  ___\
f(x) = sin \\/ x /
f(x)=sin⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} 
f = sin(sqrt(x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)=0\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \pi^{2}
Solución numérica
x1=88.8264475661467x_{1} = 88.8264475661467
x2=39.4784205844842x_{2} = 39.4784205844842
x3=88.8264374687837x_{3} = 88.8264374687837
x4=39.4784162241425x_{4} = 39.4784162241425
x5=9.86960450072704x_{5} = 9.86960450072704
x6=88.8264410875188x_{6} = 88.8264410875188
x7=39.4784204805428x_{7} = 39.4784204805428
x8=88.8264393096656x_{8} = 88.8264393096656
x9=39.4784160631217x_{9} = 39.4784160631217
x10=39.4784140791632x_{10} = 39.4784140791632
x11=39.4784151998345x_{11} = 39.4784151998345
x12=88.8264346900578x_{12} = 88.8264346900578
x13=88.8264419024062x_{13} = 88.8264419024062
x14=9.86960569038721x_{14} = 9.86960569038721
x15=39.4784142430031x_{15} = 39.4784142430031
x16=88.8264354886247x_{16} = 88.8264354886247
x17=39.4784187676126x_{17} = 39.4784187676126
x18=9.86960357091493x_{18} = 9.86960357091493
x19=39.4784202374524x_{19} = 39.4784202374524
x20=9.86960381413654x_{20} = 9.86960381413654
x21=39.4784200996856x_{21} = 39.4784200996856
x22=0x_{22} = 0
x23=88.8264437460617x_{23} = 88.8264437460617
x24=88.8264426322273x_{24} = 88.8264426322273
x25=39.4784169942349x_{25} = 39.4784169942349
x26=88.8264358291701x_{26} = 88.8264358291701
x27=88.8264366078004x_{27} = 88.8264366078004
x28=9.86960573368012x_{28} = 9.86960573368012
x29=88.8264351729903x_{29} = 88.8264351729903
x30=39.4784195131508x_{30} = 39.4784195131508
x31=39.4784058291314x_{31} = 39.4784058291314
x32=39.4784193198144x_{32} = 39.4784193198144
x33=88.8264402084284x_{33} = 88.8264402084284
x34=9.86960267620495x_{34} = 9.86960267620495
x35=88.8264432547276x_{35} = 88.8264432547276
x36=88.8264344550263x_{36} = 88.8264344550263
x37=88.8264382671084x_{37} = 88.8264382671084
x38=39.4784128781044x_{38} = 39.4784128781044
x39=9.86960529158683x_{39} = 9.86960529158683
x40=9.86960265670703x_{40} = 9.86960265670703
x41=88.8264383780085x_{41} = 88.8264383780085
x42=39.4784144937975x_{42} = 39.4784144937975
x43=39.4784187877082x_{43} = 39.4784187877082
x44=39.4784179009523x_{44} = 39.4784179009523
x45=88.8264346063375x_{45} = 88.8264346063375
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(sqrt(x))^2.
sin⁡2(0)\sin^{2}{\left(\sqrt{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡(x)x=0\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
   2    
 pi     
(---, 1)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π24]\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π24,∞)\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(x)x+cos⁡2(x)x−sin⁡(x)cos⁡(x)x322=0\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=271.530894636033x_{1} = 271.530894636033
x2=177.769612433485x_{2} = 177.769612433485
x3=49.4644527983443x_{3} = 49.4644527983443
x4=5.04768213910666x_{4} = 5.04768213910666
x5=103.74749606477x_{5} = 103.74749606477
x6=29.7249672909066x_{6} = 29.7249672909066
x7=74.1386030339328x_{7} = 74.1386030339328
x8=14.9198789860274x_{8} = 14.9198789860274

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[74.1386030339328,∞)\left[74.1386030339328, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,5.04768213910666]\left(-\infty, 5.04768213910666\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡2(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞sin⁡2(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(sqrt(x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)=sin⁡2(−x)\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = \sin^{2}{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
sin⁡2(x)=−sin⁡2(−x)\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = - \sin^{2}{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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