Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(1/x+e)

Gráfico de la función y = log(1/x+e)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1    \
f(x) = log|- + E|
          \x    /
f(x)=log⁡(e+1x)f{\left(x \right)} = \log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} 
f = log(E + 1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(e+1x)=0\log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=11−ex_{1} = \frac{1}{1 - e}
Solución numérica
x1=−0.581976706869326x_{1} = -0.581976706869326
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1/x + E).
log⁡(10+e)\log{\left(\frac{1}{0} + e \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1x2(e+1x)=0- \frac{1}{x^{2} \left(e + \frac{1}{x}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−1x(e+1x)x3(e+1x)=0\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12ex_{1} = - \frac{1}{2 e}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2−1x(e+1x)x3(e+1x))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2−1x(e+1x)x3(e+1x))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12e,∞)\left[- \frac{1}{2 e}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12e]\left(-\infty, - \frac{1}{2 e}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(e+1x)=1\lim_{x \to -\infty} \log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞log⁡(e+1x)=1\lim_{x \to \infty} \log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1/x + E), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(e+1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(e + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(e+1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(e + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(e+1x)=log⁡(e−1x)\log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} = \log{\left(e - \frac{1}{x} \right)}
- No
log⁡(e+1x)=−log⁡(e−1x)\log{\left(e + \frac{1}{x} \right)} = - \log{\left(e - \frac{1}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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