Sr Examen

Otras calculadoras

2-3*cos(2*x+pi/4)
Trazado el gráfico de la función/ 2-3*cos(2*x+pi/4)

Gráfico de la función y = 2-3*cos(2*x+pi/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                /      pi\
f(x) = 2 - 3*cos|2*x + --|
                \      4 /
f(x)=2−3cos⁡(2x+π4)f{\left(x \right)} = 2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} 
f = 2 - 3*cos(2*x + pi/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2−3cos⁡(2x+π4)=02 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π8+acos⁡(23)2x_{1} = - \frac{\pi}{8} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{2}
x2=−acos⁡(23)2+7π8x_{2} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{2} + \frac{7 \pi}{8}
Solución numérica
x1=14.8947298509663x_{1} = 14.8947298509663
x2=52.5938416940438x_{2} = 52.5938416940438
x3=−76.2114571031377x_{3} = -76.2114571031377
x4=−78.5119810861596x_{4} = -78.5119810861596
x5=94.275614861279x_{5} = 94.275614861279
x6=−29.0875672992908x_{6} = -29.0875672992908
x7=2.3283592366071x_{7} = 2.3283592366071
x8=30.6026931189152x_{8} = 30.6026931189152
x9=9.45261321435462x_{9} = 9.45261321435462
x10=−19.6627893385214x_{10} = -19.6627893385214
x11=18.877391175124x_{11} = 18.877391175124
x12=40.0274710796846x_{12} = 40.0274710796846
x13=−6.25535005359435x_{13} = -6.25535005359435
x14=−43.9544618966719x_{14} = -43.9544618966719
x15=−10.2380113777521x_{15} = -10.2380113777521
x16=−37.6712765894923x_{16} = -37.6712765894923
x17=−13.3796040313419x_{17} = -13.3796040313419
x18=31.4437617894832x_{18} = 31.4437617894832
x19=53.4349103646117x_{19} = 53.4349103646117
x20=18.0363225045561x_{20} = 18.0363225045561
x21=62.8596883253811x_{21} = 62.8596883253811
x22=84.0097682299417x_{22} = 84.0097682299417
x23=44.0101324038423x_{23} = 44.0101324038423
x24=−72.22879577898x_{24} = -72.22879577898
x25=−18.8217206679535x_{25} = -18.8217206679535
x26=−81.6535737397494x_{26} = -81.6535737397494
x27=−95.0610130246765x_{27} = -95.0610130246765
x28=−87.936759046929x_{28} = -87.936759046929
x29=28.3021691358934x_{29} = 28.3021691358934
x30=−63.6450864887786x_{30} = -63.6450864887786
x31=−57.361901181599x_{31} = -57.361901181599
x32=87.9924295540994x_{32} = 87.9924295540994
x33=81.7092442469199x_{33} = 81.7092442469199
x34=71.4433976155826x_{34} = 71.4433976155826
x35=−59.6624251646208x_{35} = -59.6624251646208
x36=−69.9282717959581x_{36} = -69.9282717959581
x37=−94.2199443541086x_{37} = -94.2199443541086
x38=−32.2291599528806x_{38} = -32.2291599528806
x39=96.5761388443009x_{39} = 96.5761388443009
x40=−91.9194203710867x_{40} = -91.9194203710867
x41=0.027835253585241x_{41} = 0.027835253585241
x42=46.3106563868642x_{42} = 46.3106563868642
x43=97.4172075148688x_{43} = 97.4172075148688
x44=22.0189838287138x_{44} = 22.0189838287138
x45=−47.9371232208296x_{45} = -47.9371232208296
x46=−85.6362350639071x_{46} = -85.6362350639071
x47=−54.2203085280092x_{47} = -54.2203085280092
x48=−25.945974645701x_{48} = -25.945974645701
x49=−28.2464986287229x_{49} = -28.2464986287229
x50=66.0012809789709x_{50} = 66.0012809789709
x51=68.3018049619928x_{51} = 68.3018049619928
x52=15.7357985215342x_{52} = 15.7357985215342
x53=552.107073614821x_{53} = 552.107073614821
x54=−41.65393791365x_{54} = -41.65393791365
x55=−82.4946424103173x_{55} = -82.4946424103173
x56=37.7269470966628x_{56} = 37.7269470966628
x57=−98.2026056782663x_{57} = -98.2026056782663
x58=−50.2376472038515x_{58} = -50.2376472038515
x59=−35.3707526064704x_{59} = -35.3707526064704
x60=−34.5296839359025x_{60} = -34.5296839359025
x61=72.2844662861505x_{61} = 72.2844662861505
x62=24.3195078117357x_{62} = 24.3195078117357
x63=−15.6801280143637x_{63} = -15.6801280143637
x64=−73.0698644495479x_{64} = -73.0698644495479
x65=36.8858784260948x_{65} = 36.8858784260948
x66=11.7531371973765x_{66} = 11.7531371973765
x67=33.744285772505x_{67} = 33.744285772505
x68=74.5849902691724x_{68} = 74.5849902691724
x69=−772.803957529504x_{69} = -772.803957529504
x70=62.0186196548132x_{70} = 62.0186196548132
x71=−100.503129661288x_{71} = -100.503129661288
x72=−51.0787158744194x_{72} = -51.0787158744194
x73=8.61154454378669x_{73} = 8.61154454378669
x74=−79.3530497567275x_{74} = -79.3530497567275
x75=90.2929535371213x_{75} = 90.2929535371213
x76=−3.95482607057248x_{76} = -3.95482607057248
x77=58.8770270012234x_{77} = 58.8770270012234
x78=75.4260589397403x_{78} = 75.4260589397403
x79=−56.520832511031x_{79} = -56.520832511031
x80=80.8681755763519x_{80} = 80.8681755763519
x81=6.31102056076483x_{81} = 6.31102056076483
x82=−21.9633133215433x_{82} = -21.9633133215433
x83=−7.09641872416228x_{83} = -7.09641872416228
x84=77.7265829227621x_{84} = 77.7265829227621
x85=−12.5385353607739x_{85} = -12.5385353607739
x86=−65.9456104718004x_{86} = -65.9456104718004
x87=50.2933177110219x_{87} = 50.2933177110219
x88=59.7180956717913x_{88} = 59.7180956717913
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2 - 3*cos(2*x + pi/4).
2−3cos⁡(0⋅2+π4)2 - 3 \cos{\left(0 \cdot 2 + \frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=2−322f{\left(0 \right)} = 2 - \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, 2 - 3*sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin⁡(2x+π4)=06 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi            /pi   pi\ 
(----, 2 - 3*cos|-- - --|)
  8             \4    4 / 

 3*pi           /pi   pi\ 
(----, 2 + 3*sin|-- + --|)
  8             \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
Puntos máximos de la función:
x1=3π8x_{1} = \frac{3 \pi}{8}
Decrece en los intervalos
[−π8,3π8]\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π8]∪[3π8,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12cos⁡(2x+π4)=012 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
x2=5π8x_{2} = \frac{5 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π8]∪[5π8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{8}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π8,5π8]\left[\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2−3cos⁡(2x+π4))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(2−3cos⁡(2x+π4))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 - 3*cos(2*x + pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−3cos⁡(2x+π4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2−3cos⁡(2x+π4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2−3cos⁡(2x+π4)=2−3cos⁡(2x−π4)2 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 2 - 3 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
2−3cos⁡(2x+π4)=3cos⁡(2x−π4)−22 - 3 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = 3 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2-3*cos(2*x+pi/4)
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