Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx+2cosx

Gráfico de la función y = sinx+2cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) + 2*cos(x)
f(x)=sin⁡(x)+2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x) + 2*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+2cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Solución numérica
x1=−89.0717430183083x_{1} = -89.0717430183083
x2=49.1583337396426x_{2} = 49.1583337396426
x3=74.2910749683609x_{3} = 74.2910749683609
x4=−104.779706286257x_{4} = -104.779706286257
x5=83.7158529291303x_{5} = 83.7158529291303
x6=20.8839998573345x_{6} = 20.8839998573345
x7=−41.9478532144614x_{7} = -41.9478532144614
x8=−48.231038521641x_{8} = -48.231038521641
x9=−7.39033402497368x_{9} = -7.39033402497368
x10=−70.2221870967695x_{10} = -70.2221870967695
x11=36.5919631252834x_{11} = 36.5919631252834
x12=−63.93900178959x_{12} = -63.93900178959
x13=27.167185164514x_{13} = 27.167185164514
x14=−92.2133356718981x_{14} = -92.2133356718981
x15=−19.9567046393328x_{15} = -19.9567046393328
x16=58.583111700412x_{16} = 58.583111700412
x17=71.1494823147711x_{17} = 71.1494823147711
x18=42.875148432463x_{18} = 42.875148432463
x19=−67.0805944431797x_{19} = -67.0805944431797
x20=86.8574455827201x_{20} = 86.8574455827201
x21=5.1760365893855x_{21} = 5.1760365893855
x22=68.0078896611814x_{22} = 68.0078896611814
x23=8.31762924297529x_{23} = 8.31762924297529
x24=−38.8062605608716x_{24} = -38.8062605608716
x25=39.7335557788732x_{25} = 39.7335557788732
x26=89.9990382363099x_{26} = 89.9990382363099
x27=46.0167410860528x_{27} = 46.0167410860528
x28=−10.5319266785635x_{28} = -10.5319266785635
x29=80.5742602755405x_{29} = 80.5742602755405
x30=−57.6558164824104x_{30} = -57.6558164824104
x31=−79.6469650575389x_{31} = -79.6469650575389
x32=−51.3726311752308x_{32} = -51.3726311752308
x33=96.2822235434895x_{33} = 96.2822235434895
x34=−85.9301503647185x_{34} = -85.9301503647185
x35=55.4415190468222x_{35} = 55.4415190468222
x36=33.4503704716936x_{36} = 33.4503704716936
x37=2.0344439357957x_{37} = 2.0344439357957
x38=−23.0982972929226x_{38} = -23.0982972929226
x39=77.4326676219507x_{39} = 77.4326676219507
x40=64.8662970075916x_{40} = 64.8662970075916
x41=−1.10714871779409x_{41} = -1.10714871779409
x42=−98.4965209790777x_{42} = -98.4965209790777
x43=−82.7885577111287x_{43} = -82.7885577111287
x44=−45.0894458680512x_{44} = -45.0894458680512
x45=−243.009783044208x_{45} = -243.009783044208
x46=−13.6735193321533x_{46} = -13.6735193321533
x47=−73.3637797503593x_{47} = -73.3637797503593
x48=−54.5142238288206x_{48} = -54.5142238288206
x49=−60.7974091360002x_{49} = -60.7974091360002
x50=24.0255925109243x_{50} = 24.0255925109243
x51=−16.8151119857431x_{51} = -16.8151119857431
x52=−29.3814826001022x_{52} = -29.3814826001022
x53=52.2999263932324x_{53} = 52.2999263932324
x54=−4.24874137138388x_{54} = -4.24874137138388
x55=93.1406308898997x_{55} = 93.1406308898997
x56=99.4238161970793x_{56} = 99.4238161970793
x57=−76.5053724039491x_{57} = -76.5053724039491
x58=11.4592218965651x_{58} = 11.4592218965651
x59=−95.3549283254879x_{59} = -95.3549283254879
x60=61.7247043540018x_{60} = 61.7247043540018
x61=30.3087778181038x_{61} = 30.3087778181038
x62=17.7424072037447x_{62} = 17.7424072037447
x63=−32.523075253692x_{63} = -32.523075253692
x64=−35.6646679072818x_{64} = -35.6646679072818
x65=−26.2398899465124x_{65} = -26.2398899465124
x66=14.6008145501549x_{66} = 14.6008145501549
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + 2*cos(x).
sin⁡(0)+2cos⁡(0)\sin{\left(0 \right)} + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
(atan(1/2), \/ 5 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(12)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(12),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+2cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(2)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(2),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + 2*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+2cos⁡(x)=−sin⁡(x)+2cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)+2cos⁡(x)=sin⁡(x)−2cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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