Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x)+2*cos(x)

Gráfico de la función y = 2*sin(x)+2*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x) + 2*cos(x)
f(x)=2sin⁡(x)+2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} 
f = 2*sin(x) + 2*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)+2cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=21.2057504117311x_{1} = 21.2057504117311
x2=−35.3429173528852x_{2} = -35.3429173528852
x3=−51.0508806208341x_{3} = -51.0508806208341
x4=−107.59954838545x_{4} = -107.59954838545
x5=43.1968989868597x_{5} = 43.1968989868597
x6=2.35619449019234x_{6} = 2.35619449019234
x7=−98.174770424681x_{7} = -98.174770424681
x8=−38.484510006475x_{8} = -38.484510006475
x9=11.7809724509617x_{9} = 11.7809724509617
x10=−79.3252145031423x_{10} = -79.3252145031423
x11=90.3207887907066x_{11} = 90.3207887907066
x12=30.6305283725005x_{12} = 30.6305283725005
x13=80.8960108299372x_{13} = 80.8960108299372
x14=46.3384916404494x_{14} = 46.3384916404494
x15=−88.7499924639117x_{15} = -88.7499924639117
x16=−7.06858347057703x_{16} = -7.06858347057703
x17=62.0464549083984x_{17} = 62.0464549083984
x18=36.9137136796801x_{18} = 36.9137136796801
x19=40.0553063332699x_{19} = 40.0553063332699
x20=52.621676947629x_{20} = 52.621676947629
x21=−66.7588438887831x_{21} = -66.7588438887831
x22=−63.6172512351933x_{22} = -63.6172512351933
x23=49.4800842940392x_{23} = 49.4800842940392
x24=65.1880475619882x_{24} = 65.1880475619882
x25=−16.4933614313464x_{25} = -16.4933614313464
x26=−95.0331777710912x_{26} = -95.0331777710912
x27=−10.2101761241668x_{27} = -10.2101761241668
x28=−32.2013246992954x_{28} = -32.2013246992954
x29=58.9048622548086x_{29} = 58.9048622548086
x30=−25.9181393921158x_{30} = -25.9181393921158
x31=−47.9092879672443x_{31} = -47.9092879672443
x32=−0.785398163397448x_{32} = -0.785398163397448
x33=96.6039740978861x_{33} = 96.6039740978861
x34=33.7721210260903x_{34} = 33.7721210260903
x35=27.4889357189107x_{35} = 27.4889357189107
x36=55.7632696012188x_{36} = 55.7632696012188
x37=87.1791961371168x_{37} = 87.1791961371168
x38=−73.0420291959627x_{38} = -73.0420291959627
x39=−41.6261026600648x_{39} = -41.6261026600648
x40=99.7455667514759x_{40} = 99.7455667514759
x41=−91.8915851175014x_{41} = -91.8915851175014
x42=84.037603483527x_{42} = 84.037603483527
x43=71.4712328691678x_{43} = 71.4712328691678
x44=77.7544181763474x_{44} = 77.7544181763474
x45=14.9225651045515x_{45} = 14.9225651045515
x46=24.3473430653209x_{46} = 24.3473430653209
x47=−82.4668071567321x_{47} = -82.4668071567321
x48=93.4623814442964x_{48} = 93.4623814442964
x49=−76.1836218495525x_{49} = -76.1836218495525
x50=68.329640215578x_{50} = 68.329640215578
x51=−60.4756585816035x_{51} = -60.4756585816035
x52=74.6128255227576x_{52} = 74.6128255227576
x53=−19.6349540849362x_{53} = -19.6349540849362
x54=−13.3517687777566x_{54} = -13.3517687777566
x55=−29.0597320457056x_{55} = -29.0597320457056
x56=5.49778714378214x_{56} = 5.49778714378214
x57=351.072979038659x_{57} = 351.072979038659
x58=−69.9004365423729x_{58} = -69.9004365423729
x59=−22.776546738526x_{59} = -22.776546738526
x60=−57.3340659280137x_{60} = -57.3340659280137
x61=−44.7676953136546x_{61} = -44.7676953136546
x62=18.0641577581413x_{62} = 18.0641577581413
x63=8.63937979737193x_{63} = 8.63937979737193
x64=−3.92699081698724x_{64} = -3.92699081698724
x65=−54.1924732744239x_{65} = -54.1924732744239
x66=−85.6083998103219x_{66} = -85.6083998103219
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) + 2*cos(x).
2sin⁡(0)+2cos⁡(0)2 \sin{\left(0 \right)} + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)+2cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      ___ 
(--, 2*\/ 2 )
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) + 2*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)+2cos⁡(x)=−2sin⁡(x)+2cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
- No
2sin⁡(x)+2cos⁡(x)=2sin⁡(x)−2cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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