Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sin(x)+2*cos(x)*sin(x)

Gráfico de la función y = -sin(x)+2*cos(x)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -sin(x) + 2*cos(x)*sin(x)
f(x)=sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} 
f = sin(x)*(2*cos(x)) - sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=12.5663706143592x_{1} = 12.5663706143592
x2=−13.6135681655558x_{2} = -13.6135681655558
x3=78.5398163397448x_{3} = 78.5398163397448
x4=−65.9734457253857x_{4} = -65.9734457253857
x5=−15.707963267949x_{5} = -15.707963267949
x6=−34.5575191894877x_{6} = -34.5575191894877
x7=−879.645943005142x_{7} = -879.645943005142
x8=50.2654824574367x_{8} = 50.2654824574367
x9=81.6814089933346x_{9} = 81.6814089933346
x10=−57.5958653158129x_{10} = -57.5958653158129
x11=−36.6519142918809x_{11} = -36.6519142918809
x12=76.4454212373516x_{12} = 76.4454212373516
x13=63.8790506229925x_{13} = 63.8790506229925
x14=−75.398223686155x_{14} = -75.398223686155
x15=−24.0855436775217x_{15} = -24.0855436775217
x16=−1.0471975511966x_{16} = -1.0471975511966
x17=95.2949771588904x_{17} = 95.2949771588904
x18=42.9350995990605x_{18} = 42.9350995990605
x19=56.5486677646163x_{19} = 56.5486677646163
x20=80.634211442138x_{20} = 80.634211442138
x21=70.162235930172x_{21} = 70.162235930172
x22=1.0471975511966x_{22} = 1.0471975511966
x23=−19.8967534727354x_{23} = -19.8967534727354
x24=15.707963267949x_{24} = 15.707963267949
x25=−80.634211442138x_{25} = -80.634211442138
x26=86.9173967493176x_{26} = 86.9173967493176
x27=−59.6902604182061x_{27} = -59.6902604182061
x28=21.9911485751286x_{28} = 21.9911485751286
x29=6.28318530717959x_{29} = 6.28318530717959
x30=26.1799387799149x_{30} = 26.1799387799149
x31=−87.9645943005142x_{31} = -87.9645943005142
x32=9.42477796076938x_{32} = 9.42477796076938
x33=−28.2743338823081x_{33} = -28.2743338823081
x34=7.33038285837618x_{34} = 7.33038285837618
x35=57.5958653158129x_{35} = 57.5958653158129
x36=−9.42477796076938x_{36} = -9.42477796076938
x37=59.6902604182061x_{37} = 59.6902604182061
x38=−68.0678408277789x_{38} = -68.0678408277789
x39=28.2743338823081x_{39} = 28.2743338823081
x40=−47.1238898038469x_{40} = -47.1238898038469
x41=−3.14159265358979x_{41} = -3.14159265358979
x42=94.2477796076938x_{42} = 94.2477796076938
x43=−72.2566310325652x_{43} = -72.2566310325652
x44=−74.3510261349584x_{44} = -74.3510261349584
x45=53.4070751110265x_{45} = 53.4070751110265
x46=−97.3893722612836x_{46} = -97.3893722612836
x47=37.6991118430775x_{47} = 37.6991118430775
x48=−50.2654824574367x_{48} = -50.2654824574367
x49=−94.2477796076938x_{49} = -94.2477796076938
x50=17.8023583703422x_{50} = 17.8023583703422
x51=−63.8790506229925x_{51} = -63.8790506229925
x52=24.0855436775217x_{52} = 24.0855436775217
x53=−7.33038285837618x_{53} = -7.33038285837618
x54=32.4631240870945x_{54} = 32.4631240870945
x55=−37.6991118430775x_{55} = -37.6991118430775
x56=19.8967534727354x_{56} = 19.8967534727354
x57=−95.2949771588904x_{57} = -95.2949771588904
x58=74.3510261349584x_{58} = 74.3510261349584
x59=51.3126800086333x_{59} = 51.3126800086333
x60=−26.1799387799149x_{60} = -26.1799387799149
x61=−61.7846555205993x_{61} = -61.7846555205993
x62=−81.6814089933346x_{62} = -81.6814089933346
x63=43.9822971502571x_{63} = 43.9822971502571
x64=−78.5398163397448x_{64} = -78.5398163397448
x65=−89.0117918517108x_{65} = -89.0117918517108
x66=−17.8023583703422x_{66} = -17.8023583703422
x67=97.3893722612836x_{67} = 97.3893722612836
x68=36.6519142918809x_{68} = 36.6519142918809
x69=−31.4159265358979x_{69} = -31.4159265358979
x70=−99.4837673636768x_{70} = -99.4837673636768
x71=0x_{71} = 0
x72=30.3687289847013x_{72} = 30.3687289847013
x73=68.0678408277789x_{73} = 68.0678408277789
x74=61.7846555205993x_{74} = 61.7846555205993
x75=−21.9911485751286x_{75} = -21.9911485751286
x76=−55.5014702134197x_{76} = -55.5014702134197
x77=100.530964914873x_{77} = 100.530964914873
x78=34.5575191894877x_{78} = 34.5575191894877
x79=65.9734457253857x_{79} = 65.9734457253857
x80=−45.0294947014537x_{80} = -45.0294947014537
x81=−11.5191730631626x_{81} = -11.5191730631626
x82=−53.4070751110265x_{82} = -53.4070751110265
x83=−51.3126800086333x_{83} = -51.3126800086333
x84=40.8407044966673x_{84} = 40.8407044966673
x85=13.6135681655558x_{85} = 13.6135681655558
x86=−6.28318530717959x_{86} = -6.28318530717959
x87=−30.3687289847013x_{87} = -30.3687289847013
x88=11.5191730631626x_{88} = 11.5191730631626
x89=−43.9822971502571x_{89} = -43.9822971502571
x90=84.8230016469244x_{90} = 84.8230016469244
x91=72.2566310325652x_{91} = 72.2566310325652
x92=−70.162235930172x_{92} = -70.162235930172
x93=87.9645943005142x_{93} = 87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sin(x) + (2*cos(x))*sin(x).
−sin⁡(0)+sin⁡(0)2cos⁡(0)- \sin{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)} 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(36−333)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(36−333)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(333+63)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
x4=2atan⁡(333+63)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
        /         ____________\         /      /         ____________\\    /      /         ____________\\      /      /         ____________\\ 
        |  ___   /       ____ |         |      |  ___   /       ____ ||    |      |  ___   /       ____ ||      |      |  ___   /       ____ || 
        |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  |         |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  ||    |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  ||      |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  || 
(-2*atan|---------------------|, - 2*cos|2*atan|---------------------||*sin|2*atan|---------------------|| + sin|2*atan|---------------------||)
        \          3          /         \      \          3          //    \      \          3          //      \      \          3          // 

       /         ____________\       /      /         ____________\\        /      /         ____________\\    /      /         ____________\\ 
       |  ___   /       ____ |       |      |  ___   /       ____ ||        |      |  ___   /       ____ ||    |      |  ___   /       ____ || 
       |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  |       |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  ||        |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  ||    |      |\/ 3 *\/  6 - \/ 33  || 
(2*atan|---------------------|, - sin|2*atan|---------------------|| + 2*cos|2*atan|---------------------||*sin|2*atan|---------------------||)
       \          3          /       \      \          3          //        \      \          3          //    \      \          3          // 

        /         ____________\         /      /         ____________\\    /      /         ____________\\      /      /         ____________\\ 
        |  ___   /       ____ |         |      |  ___   /       ____ ||    |      |  ___   /       ____ ||      |      |  ___   /       ____ || 
        |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  |         |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  ||    |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  ||      |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  || 
(-2*atan|---------------------|, - 2*cos|2*atan|---------------------||*sin|2*atan|---------------------|| + sin|2*atan|---------------------||)
        \          3          /         \      \          3          //    \      \          3          //      \      \          3          // 

       /         ____________\       /      /         ____________\\        /      /         ____________\\    /      /         ____________\\ 
       |  ___   /       ____ |       |      |  ___   /       ____ ||        |      |  ___   /       ____ ||    |      |  ___   /       ____ || 
       |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  |       |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  ||        |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  ||    |      |\/ 3 *\/  6 + \/ 33  || 
(2*atan|---------------------|, - sin|2*atan|---------------------|| + 2*cos|2*atan|---------------------||*sin|2*atan|---------------------||)
       \          3          /       \      \          3          //        \      \          3          //    \      \          3          //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(36−333)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(333+63)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=2atan⁡(36−333)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=−2atan⁡(333+63)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(333+63),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(36−333)]∪[2atan⁡(36−333),2atan⁡(333+63)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−8cos⁡(x))sin⁡(x)=0\left(1 - 8 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(73)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}
x3=2atan⁡(73)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(73),0]∪[2atan⁡(73),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, 0\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(73)]∪[0,2atan⁡(73)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sin(x) + (2*cos(x))*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)=−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)2cos⁡(x)−sin⁡(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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