Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)*(sqrt(1+4*x)-sqrt(-5+4*x))

Gráfico de la función y = sqrt(x)*(sqrt(1+4*x)-sqrt(-5+4*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___ /  _________     __________\
f(x) = \/ x *\\/ 1 + 4*x  - \/ -5 + 4*x /
f(x)=x(−4x−5+4x+1)f{\left(x \right)} = \sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right) 
f = sqrt(x)*(-sqrt(4*x - 5) + sqrt(4*x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(−4x−5+4x+1)=0\sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−6.41431179789676⋅1027x_{1} = -6.41431179789676 \cdot 10^{27}
x2=6.39040909575219⋅1026x_{2} = 6.39040909575219 \cdot 10^{26}
x3=−6.10086874382444⋅1027x_{3} = -6.10086874382444 \cdot 10^{27}
x4=1.7917918292109⋅1027x_{4} = 1.7917918292109 \cdot 10^{27}
x5=1.31017537893753⋅1027x_{5} = 1.31017537893753 \cdot 10^{27}
x6=1.52149553755314⋅1028x_{6} = 1.52149553755314 \cdot 10^{28}
x7=−1.87521205222725⋅1027x_{7} = -1.87521205222725 \cdot 10^{27}
x8=−1.76679247656331⋅1027x_{8} = -1.76679247656331 \cdot 10^{27}
x9=4.58021016050137⋅1027x_{9} = 4.58021016050137 \cdot 10^{27}
x10=−4.49631437124621⋅1027x_{10} = -4.49631437124621 \cdot 10^{27}
x11=5.85194601266788⋅1027x_{11} = 5.85194601266788 \cdot 10^{27}
x12=−2.13186033836297⋅1027x_{12} = -2.13186033836297 \cdot 10^{27}
x13=−2.29481801165432⋅1027x_{13} = -2.29481801165432 \cdot 10^{27}
x14=7.95485151875471⋅1027x_{14} = 7.95485151875471 \cdot 10^{27}
x15=2.77480264279765⋅1028x_{15} = 2.77480264279765 \cdot 10^{28}
x16=−2.02154687501365⋅1027x_{16} = -2.02154687501365 \cdot 10^{27}
x17=−1.73440407780038⋅1027x_{17} = -1.73440407780038 \cdot 10^{27}
x18=−7.77168704974796⋅1026x_{18} = -7.77168704974796 \cdot 10^{26}
x19=1.29941131171562⋅1027x_{19} = 1.29941131171562 \cdot 10^{27}
x20=−6.07263165908701⋅1026x_{20} = -6.07263165908701 \cdot 10^{26}
x21=2.83978941253849⋅1028x_{21} = 2.83978941253849 \cdot 10^{28}
x22=3.14848349877014⋅1027x_{22} = 3.14848349877014 \cdot 10^{27}
x23=−1.254015901886⋅1028x_{23} = -1.254015901886 \cdot 10^{28}
x24=−4.81805719450992⋅1027x_{24} = -4.81805719450992 \cdot 10^{27}
x25=−8.28383866461398⋅1026x_{25} = -8.28383866461398 \cdot 10^{26}
x26=−1.40431178497795⋅1027x_{26} = -1.40431178497795 \cdot 10^{27}
x27=−2.9732191287789⋅1027x_{27} = -2.9732191287789 \cdot 10^{27}
x28=1.08086278150436⋅1027x_{28} = 1.08086278150436 \cdot 10^{27}
x29=−7.7827784994651⋅1027x_{29} = -7.7827784994651 \cdot 10^{27}
x30=1.57499984868466⋅1027x_{30} = 1.57499984868466 \cdot 10^{27}
x31=−1.58885206695098⋅1027x_{31} = -1.58885206695098 \cdot 10^{27}
x32=5.93352155415148⋅1027x_{32} = 5.93352155415148 \cdot 10^{27}
x33=2.11134942352286⋅1027x_{33} = 2.11134942352286 \cdot 10^{27}
x34=1.42020108297623⋅1028x_{34} = 1.42020108297623 \cdot 10^{28}
x35=7.26401505860358⋅1027x_{35} = 7.26401505860358 \cdot 10^{27}
x36=−2.69910248602807⋅1027x_{36} = -2.69910248602807 \cdot 10^{27}
x37=0x_{37} = 0
x38=−1.17298395739189⋅1027x_{38} = -1.17298395739189 \cdot 10^{27}
x39=−4.8026733775525⋅1027x_{39} = -4.8026733775525 \cdot 10^{27}
x40=8.70643673936228⋅1026x_{40} = 8.70643673936228 \cdot 10^{26}
x41=−2.13839423968033⋅1027x_{41} = -2.13839423968033 \cdot 10^{27}
x42=1.28889230993638⋅1027x_{42} = 1.28889230993638 \cdot 10^{27}
x43=1.71911060340797⋅1027x_{43} = 1.71911060340797 \cdot 10^{27}
x44=1.10510119707161⋅1028x_{44} = 1.10510119707161 \cdot 10^{28}
x45=1.48418111664206⋅1028x_{45} = 1.48418111664206 \cdot 10^{28}
x46=−4.95249520722382⋅1028x_{46} = -4.95249520722382 \cdot 10^{28}
x47=−3.78225162896909⋅1027x_{47} = -3.78225162896909 \cdot 10^{27}
x48=−8.55431710948567⋅1026x_{48} = -8.55431710948567 \cdot 10^{26}
x49=3.74448215815307⋅1027x_{49} = 3.74448215815307 \cdot 10^{27}
x50=−4.38241259125571⋅1027x_{50} = -4.38241259125571 \cdot 10^{27}
x51=−2.00845159596671⋅1027x_{51} = -2.00845159596671 \cdot 10^{27}
x52=3.35173180238091⋅1027x_{52} = 3.35173180238091 \cdot 10^{27}
x53=1.02821918793551⋅1028x_{53} = 1.02821918793551 \cdot 10^{28}
x54=−7.52451194948506⋅1027x_{54} = -7.52451194948506 \cdot 10^{27}
x55=−6.70020168308476⋅1026x_{55} = -6.70020168308476 \cdot 10^{26}
x56=−2.10409274022045⋅1027x_{56} = -2.10409274022045 \cdot 10^{27}
x57=8.60075206958036⋅1026x_{57} = 8.60075206958036 \cdot 10^{26}
x58=2.27534861650561⋅1027x_{58} = 2.27534861650561 \cdot 10^{27}
x59=2.48119264287186⋅1027x_{59} = 2.48119264287186 \cdot 10^{27}
x60=−2.98527784295405⋅1027x_{60} = -2.98527784295405 \cdot 10^{27}
x61=−6.27180660122332⋅1026x_{61} = -6.27180660122332 \cdot 10^{26}
x62=9.46241541862279⋅1026x_{62} = 9.46241541862279 \cdot 10^{26}
x63=−6.63244231638023⋅1027x_{63} = -6.63244231638023 \cdot 10^{27}
x64=−7.9807571358387⋅1026x_{64} = -7.9807571358387 \cdot 10^{26}
x65=−2.26951785746074⋅1027x_{65} = -2.26951785746074 \cdot 10^{27}
x66=2.16927151168024⋅1027x_{66} = 2.16927151168024 \cdot 10^{27}
x67=−1.24024620645027⋅1027x_{67} = -1.24024620645027 \cdot 10^{27}
x68=3.99740845272249⋅1027x_{68} = 3.99740845272249 \cdot 10^{27}
x69=−1.23827828880792⋅1028x_{69} = -1.23827828880792 \cdot 10^{28}
x70=7.49888775262985⋅1027x_{70} = 7.49888775262985 \cdot 10^{27}
x71=−7.36032451941933⋅1027x_{71} = -7.36032451941933 \cdot 10^{27}
x72=−2.90553087784129⋅1028x_{72} = -2.90553087784129 \cdot 10^{28}
x73=−1.57825050495519⋅1027x_{73} = -1.57825050495519 \cdot 10^{27}
x74=−6.2438019893805⋅1026x_{74} = -6.2438019893805 \cdot 10^{26}
x75=1.6855429112132⋅1027x_{75} = 1.6855429112132 \cdot 10^{27}
x76=7.69112961994105⋅1026x_{76} = 7.69112961994105 \cdot 10^{26}
x77=4.5324221933886⋅1027x_{77} = 4.5324221933886 \cdot 10^{27}
x78=−5.70212057655561⋅1027x_{78} = -5.70212057655561 \cdot 10^{27}
x79=−9.69458132365159⋅1026x_{79} = -9.69458132365159 \cdot 10^{26}
x80=−1.43747456222495⋅1027x_{80} = -1.43747456222495 \cdot 10^{27}
x81=8.12190208461932⋅1026x_{81} = 8.12190208461932 \cdot 10^{26}
x82=4.13661581361091⋅1028x_{82} = 4.13661581361091 \cdot 10^{28}
x83=8.96786357032797⋅1026x_{83} = 8.96786357032797 \cdot 10^{26}
x84=2.02932489200163⋅1027x_{84} = 2.02932489200163 \cdot 10^{27}
x85=−7.54299225110171⋅1026x_{85} = -7.54299225110171 \cdot 10^{26}
x86=7.74028427850335⋅1027x_{86} = 7.74028427850335 \cdot 10^{27}
x87=8.29265647566771⋅1027x_{87} = 8.29265647566771 \cdot 10^{27}
x88=−7.73079790650095⋅1027x_{88} = -7.73079790650095 \cdot 10^{27}
x89=7.34725351884039⋅1026x_{89} = 7.34725351884039 \cdot 10^{26}
x90=−2.62282975175088⋅1027x_{90} = -2.62282975175088 \cdot 10^{27}
x91=1.32790547424287⋅1027x_{91} = 1.32790547424287 \cdot 10^{27}
x92=−5.47181888965086⋅1027x_{92} = -5.47181888965086 \cdot 10^{27}
x93=6.74490814406059⋅1026x_{93} = 6.74490814406059 \cdot 10^{26}
x94=2.29594649242084⋅1028x_{94} = 2.29594649242084 \cdot 10^{28}
x95=−1.7354903361779⋅1027x_{95} = -1.7354903361779 \cdot 10^{27}
x96=−4.05522884363331⋅1027x_{96} = -4.05522884363331 \cdot 10^{27}
x97=−8.6261546783924⋅1026x_{97} = -8.6261546783924 \cdot 10^{26}
x98=−4.34548861288229⋅1027x_{98} = -4.34548861288229 \cdot 10^{27}
x99=5.95645815711545⋅1027x_{99} = 5.95645815711545 \cdot 10^{27}
x100=−1.9871816350061⋅1027x_{100} = -1.9871816350061 \cdot 10^{27}
x101=−9.2748022695841⋅1027x_{101} = -9.2748022695841 \cdot 10^{27}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)*(sqrt(1 + 4*x) - sqrt(-5 + 4*x)).
0(0⋅4+1−−5+0⋅4)\sqrt{0} \left(\sqrt{0 \cdot 4 + 1} - \sqrt{-5 + 0 \cdot 4}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(24x+1−24x−5)+−4x−5+4x+12x=0\sqrt{x} \left(\frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} - \frac{2}{\sqrt{4 x - 5}}\right) + \frac{- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−516x_{1} = - \frac{5}{16}
Signos de extremos en los puntos:
          ___ 
        \/ 5  
(-5/16, -----)
          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−516x_{1} = - \frac{5}{16}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−516,∞)\left[- \frac{5}{16}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−516]\left(-\infty, - \frac{5}{16}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x(1(4x+1)32−1(4x−5)32)+2(14x+1−14x−5)x+4x−5−4x+14x32=0- 4 \sqrt{x} \left(\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(4 x - 5\right)^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} - \frac{1}{\sqrt{4 x - 5}}\right)}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{4 x - 5} - \sqrt{4 x + 1}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−105416−25⋅523416−553416x_{1} = - \frac{105}{416} - \frac{25 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{416} - \frac{5 \sqrt[3]{5}}{416}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−105416−25⋅523416−553416,∞)\left[- \frac{105}{416} - \frac{25 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{416} - \frac{5 \sqrt[3]{5}}{416}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−105416−25⋅523416−553416]\left(-\infty, - \frac{105}{416} - \frac{25 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{416} - \frac{5 \sqrt[3]{5}}{416}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(−4x−5+4x+1))=32\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right)\right) = \frac{3}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=32y = \frac{3}{2}
lim⁡x→∞(x(−4x−5+4x+1))=32\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right)\right) = \frac{3}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=32y = \frac{3}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)*(sqrt(1 + 4*x) - sqrt(-5 + 4*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−4x−5+4x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−4x−5+4x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(−4x−5+4x+1)=−x(1−4x−−4x−5)\sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right) = \sqrt{- x} \left(\sqrt{1 - 4 x} - \sqrt{- 4 x - 5}\right)
- No
x(−4x−5+4x+1)=−−x(1−4x−−4x−5)\sqrt{x} \left(- \sqrt{4 x - 5} + \sqrt{4 x + 1}\right) = - \sqrt{- x} \left(\sqrt{1 - 4 x} - \sqrt{- 4 x - 5}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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