Sr Examen

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(-1+x*(-1-x))*exp(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ (-1+x*(-1-x))*exp(x/2)

Gráfico de la función y = (-1+x*(-1-x))*exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                          x
                          -
                          2
f(x) = (-1 + x*(-1 - x))*e
f(x)=(x(−x−1)−1)ex2f{\left(x \right)} = \left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}} 
f = (x*(-x - 1) - 1)*exp(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x(−x−1)−1)ex2=0\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−85.0075513012757x_{1} = -85.0075513012757
x2=−96.4297326893437x_{2} = -96.4297326893437
x3=−133.497757316312x_{3} = -133.497757316312
x4=−79.4123980667447x_{4} = -79.4123980667447
x5=−108.035305557951x_{5} = -108.035305557951
x6=−86.8931280996065x_{6} = -86.8931280996065
x7=−129.562057564014x_{7} = -129.562057564014
x8=−139.410139225951x_{8} = -139.410139225951
x9=−113.881262669374x_{9} = -113.881262669374
x10=−117.790430544373x_{10} = -117.790430544373
x11=−94.5103407791064x_{11} = -94.5103407791064
x12=−75.7495857909372x_{12} = -75.7495857909372
x13=−2597.94494735161x_{13} = -2597.94494735161
x14=−77.5729228620942x_{14} = -77.5729228620942
x15=−81.2658122578309x_{15} = -81.2658122578309
x16=−125.631767433241x_{16} = -125.631767433241
x17=−73.9451024980298x_{17} = -73.9451024980298
x18=−111.930058662473x_{18} = -111.930058662473
x19=−137.43825613229x_{19} = -137.43825613229
x20=−127.596194138374x_{20} = -127.596194138374
x21=−106.092173831093x_{21} = -106.092173831093
x22=−135.467441315066x_{22} = -135.467441315066
x23=−123.66887099539x_{23} = -123.66887099539
x24=−141.383032613576x_{24} = -141.383032613576
x25=−90.6883690318185x_{25} = -90.6883690318185
x26=−115.83477384876x_{26} = -115.83477384876
x27=−88.7870342672074x_{27} = -88.7870342672074
x28=−72.1628758156891x_{28} = -72.1628758156891
x29=−119.748086020037x_{29} = -119.748086020037
x30=−109.981340377722x_{30} = -109.981340377722
x31=−100.282792401227x_{31} = -100.282792401227
x32=−104.152189875889x_{32} = -104.152189875889
x33=−131.529271698667x_{33} = -131.529271698667
x34=−121.70760675942x_{34} = -121.70760675942
x35=−102.215627163222x_{35} = -102.215627163222
x36=−143.356882461443x_{36} = -143.356882461443
x37=−83.1313618730601x_{37} = -83.1313618730601
x38=−98.3540308465656x_{38} = -98.3540308465656
x39=−72.2254053840332x_{39} = -72.2254053840332
x40=−92.5963600398962x_{40} = -92.5963600398962
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + x*(-1 - x))*exp(x/2).
(−1+0(−1−0))e02\left(-1 + 0 \left(-1 - 0\right)\right) e^{\frac{0}{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−1)ex2+(x(−x−1)−1)ex22=0\left(- 2 x - 1\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52−132x_{1} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}
x2=−52+132x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                                           ____ 
                                                     5   \/ 13  
         ____  /     /        ____\ /      ____\\  - - - ------ 
   5   \/ 13   |     |  5   \/ 13 | |3   \/ 13 ||    4     4    
(- - - ------, |-1 + |- - - ------|*|- + ------||*e            )
   2     2     \     \  2     2   / \2     2   //               

                                                           ____ 
                                                     5   \/ 13  
         ____  /     /        ____\ /      ____\\  - - + ------ 
   5   \/ 13   |     |  5   \/ 13 | |3   \/ 13 ||    4     4    
(- - + ------, |-1 + |- - + ------|*|- - ------||*e            )
   2     2     \     \  2     2   / \2     2   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−52−132x_{1} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−52+132x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}
Decrece en los intervalos
[−52−132,−52+132]\left[- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}, - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−52−132]∪[−52+132,∞)\left(-\infty, - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x(x+1)4+2x+134)ex2=0- \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{4} + 2 x + \frac{13}{4}\right) e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−92−292x_{1} = - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}
x2=−92+292x_{2} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−92−292,−92+292]\left[- \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}, - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−92−292]∪[−92+292,∞)\left(-\infty, - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}\right] \cup \left[- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x(−x−1)−1)ex2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x(−x−1)−1)ex2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + x*(-1 - x))*exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x(−x−1)−1)ex2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x(−x−1)−1)ex2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x(−x−1)−1)ex2=(−x(x−1)−1)e−x2\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}} = \left(- x \left(x - 1\right) - 1\right) e^{- \frac{x}{2}}
- No
(x(−x−1)−1)ex2=−(−x(x−1)−1)e−x2\left(x \left(- x - 1\right) - 1\right) e^{\frac{x}{2}} = - \left(- x \left(x - 1\right) - 1\right) e^{- \frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-1+x*(-1-x))*exp(x/2)
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