Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
x^3/(x^2-1)
-
x^3-3*x
-
-x^2
- Derivada de:
-
cos^2(3x)
- Integral de d{x}:
- cos^2(3x)
-
Expresiones idénticas
- cos^ dos (3x)
- coseno de al cuadrado (3x)
- coseno de en el grado dos (3x)
- cos2(3x)
- cos23x
- cos²(3x)
- cos en el grado 2(3x)
- cos^23x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+1
- cosx/cos2x
- cos(x/4)
- cosh(x)+sinh(x)
- cos(1-2*x)
Gráfico de la función y = cos^2(3x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = cos (3*x)
$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}$$
f = cos(3*x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9.94837684644357$$
$$x_{2} = -3.6651914786486$$
$$x_{3} = 31.9395253611477$$
$$x_{4} = 88.4881930280058$$
$$x_{5} = 14.1371669873783$$
$$x_{6} = -87.4409953189147$$
$$x_{7} = 38.2227104061931$$
$$x_{8} = 18.3259571004719$$
$$x_{9} = 5.75958657756439$$
$$x_{10} = -95.8185758690479$$
$$x_{11} = 60.2138592240082$$
$$x_{12} = 49.7418837022546$$
$$x_{13} = -53.9306740746488$$
$$x_{14} = -62.3082544993577$$
$$x_{15} = -16.2315619891784$$
$$x_{16} = -91.6297857922845$$
$$x_{17} = 34.0339203573462$$
$$x_{18} = -218.340689710019$$
$$x_{19} = -96.865773562311$$
$$x_{20} = -1.57079639846571$$
$$x_{21} = -67.5442421196901$$
$$x_{22} = 38.2227106407841$$
$$x_{23} = 56.0250689512033$$
$$x_{24} = 22.51474734437$$
$$x_{25} = 40.3171056798614$$
$$x_{26} = -40.3171057809134$$
$$x_{27} = 44.5058959013899$$
$$x_{28} = -38.2227105578705$$
$$x_{29} = -89.5353906915371$$
$$x_{30} = -78.0162175468244$$
$$x_{31} = 29.8451302859375$$
$$x_{32} = 27.7507351416945$$
$$x_{33} = -100.007366130902$$
$$x_{34} = -31.9395254607427$$
$$x_{35} = -96.8657733416992$$
$$x_{36} = 95.8185760099185$$
$$x_{37} = -27.7507351061626$$
$$x_{38} = 71.7330322578684$$
$$x_{39} = -80.1106125965004$$
$$x_{40} = -45.5530935467806$$
$$x_{41} = 84.2994028394378$$
$$x_{42} = -65.4498467952353$$
$$x_{43} = 51.8362788611105$$
$$x_{44} = -93.7241808498957$$
$$x_{45} = 78.0162175417499$$
$$x_{46} = 64.4026493286099$$
$$x_{47} = -12.0427718000216$$
$$x_{48} = -5.75958652424928$$
$$x_{49} = -43.4586982782211$$
$$x_{50} = -23.5619449729929$$
$$x_{51} = -7.85398152418181$$
$$x_{52} = -60.2138591280511$$
$$x_{53} = -36.1283154422719$$
$$x_{54} = 16.2315620580511$$
$$x_{55} = -69.6386372143248$$
$$x_{56} = 62.308254259517$$
$$x_{57} = 93.7241808065961$$
$$x_{58} = 73.8274274357866$$
$$x_{59} = 219.387886624637$$
$$x_{60} = 100.007366129875$$
$$x_{61} = 97.9129710990821$$
$$x_{62} = -21.467549748169$$
$$x_{63} = -58.1194640191823$$
$$x_{64} = 7.85398171030129$$
$$x_{65} = -84.2994030191035$$
$$x_{66} = -73.8274272823298$$
$$x_{67} = 12.0427717588149$$
$$x_{68} = 82.205007807797$$
$$x_{69} = -71.7330322689618$$
$$x_{70} = -47.6474886360566$$
$$x_{71} = -82.2050076993983$$
$$x_{72} = -25.6563400574942$$
$$x_{73} = -56.0250689637531$$
$$x_{74} = -29.8451301070482$$
$$x_{75} = -34.0339203815254$$
$$x_{76} = -49.7418836877244$$
$$x_{77} = 66.4970444630068$$
$$x_{78} = -51.8362786947358$$
$$x_{79} = 42.4115007524084$$
$$x_{80} = 0.523598793698386$$
$$x_{81} = 86.3937979052498$$
$$x_{82} = 9.94837678084721$$
$$x_{83} = 20.4203521766952$$
$$x_{84} = -14.1371668657739$$
$$x_{85} = 4.71238901629785$$
$$x_{86} = 53.9306739409302$$
$$x_{87} = 75.9218225202323$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9.94837684644357$$
$$x_{2} = -3.6651914786486$$
$$x_{3} = 31.9395253611477$$
$$x_{4} = 88.4881930280058$$
$$x_{5} = 14.1371669873783$$
$$x_{6} = -87.4409953189147$$
$$x_{7} = 38.2227104061931$$
$$x_{8} = 18.3259571004719$$
$$x_{9} = 5.75958657756439$$
$$x_{10} = -95.8185758690479$$
$$x_{11} = 60.2138592240082$$
$$x_{12} = 49.7418837022546$$
$$x_{13} = -53.9306740746488$$
$$x_{14} = -62.3082544993577$$
$$x_{15} = -16.2315619891784$$
$$x_{16} = -91.6297857922845$$
$$x_{17} = 34.0339203573462$$
$$x_{18} = -218.340689710019$$
$$x_{19} = -96.865773562311$$
$$x_{20} = -1.57079639846571$$
$$x_{21} = -67.5442421196901$$
$$x_{22} = 38.2227106407841$$
$$x_{23} = 56.0250689512033$$
$$x_{24} = 22.51474734437$$
$$x_{25} = 40.3171056798614$$
$$x_{26} = -40.3171057809134$$
$$x_{27} = 44.5058959013899$$
$$x_{28} = -38.2227105578705$$
$$x_{29} = -89.5353906915371$$
$$x_{30} = -78.0162175468244$$
$$x_{31} = 29.8451302859375$$
$$x_{32} = 27.7507351416945$$
$$x_{33} = -100.007366130902$$
$$x_{34} = -31.9395254607427$$
$$x_{35} = -96.8657733416992$$
$$x_{36} = 95.8185760099185$$
$$x_{37} = -27.7507351061626$$
$$x_{38} = 71.7330322578684$$
$$x_{39} = -80.1106125965004$$
$$x_{40} = -45.5530935467806$$
$$x_{41} = 84.2994028394378$$
$$x_{42} = -65.4498467952353$$
$$x_{43} = 51.8362788611105$$
$$x_{44} = -93.7241808498957$$
$$x_{45} = 78.0162175417499$$
$$x_{46} = 64.4026493286099$$
$$x_{47} = -12.0427718000216$$
$$x_{48} = -5.75958652424928$$
$$x_{49} = -43.4586982782211$$
$$x_{50} = -23.5619449729929$$
$$x_{51} = -7.85398152418181$$
$$x_{52} = -60.2138591280511$$
$$x_{53} = -36.1283154422719$$
$$x_{54} = 16.2315620580511$$
$$x_{55} = -69.6386372143248$$
$$x_{56} = 62.308254259517$$
$$x_{57} = 93.7241808065961$$
$$x_{58} = 73.8274274357866$$
$$x_{59} = 219.387886624637$$
$$x_{60} = 100.007366129875$$
$$x_{61} = 97.9129710990821$$
$$x_{62} = -21.467549748169$$
$$x_{63} = -58.1194640191823$$
$$x_{64} = 7.85398171030129$$
$$x_{65} = -84.2994030191035$$
$$x_{66} = -73.8274272823298$$
$$x_{67} = 12.0427717588149$$
$$x_{68} = 82.205007807797$$
$$x_{69} = -71.7330322689618$$
$$x_{70} = -47.6474886360566$$
$$x_{71} = -82.2050076993983$$
$$x_{72} = -25.6563400574942$$
$$x_{73} = -56.0250689637531$$
$$x_{74} = -29.8451301070482$$
$$x_{75} = -34.0339203815254$$
$$x_{76} = -49.7418836877244$$
$$x_{77} = 66.4970444630068$$
$$x_{78} = -51.8362786947358$$
$$x_{79} = 42.4115007524084$$
$$x_{80} = 0.523598793698386$$
$$x_{81} = 86.3937979052498$$
$$x_{82} = 9.94837678084721$$
$$x_{83} = 20.4203521766952$$
$$x_{84} = -14.1371668657739$$
$$x_{85} = 4.71238901629785$$
$$x_{86} = 53.9306739409302$$
$$x_{87} = 75.9218225202323$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-pi (----, 0) 6
pi (--, 0) 6
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$18 \left(\sin^{2}{\left(3 x \right)} - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{12}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$18 \left(\sin^{2}{\left(3 x \right)} - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{12}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = - \cos^{2}{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(3 x \right)} = - \cos^{2}{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par