Sr Examen

Gráfico de la función y = cos(x/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /x\
f(x) = cos|-|
          \4/
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$$
f = cos(x/4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
$$x_{2} = 6 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 31.4159265358979$$
$$x_{2} = -56.5486677646163$$
$$x_{3} = 69.1150383789755$$
$$x_{4} = -81.6814089933346$$
$$x_{5} = 1602.21225333079$$
$$x_{6} = -953517.352661652$$
$$x_{7} = 106.814150222053$$
$$x_{8} = 6465.39768108779$$
$$x_{9} = -94.2477796076938$$
$$x_{10} = 6.28318530717959$$
$$x_{11} = -69.1150383789755$$
$$x_{12} = -18.8495559215388$$
$$x_{13} = 18.8495559215388$$
$$x_{14} = -43.9822971502571$$
$$x_{15} = -6.28318530717959$$
$$x_{16} = 43.9822971502571$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 5447.5216613247$$
$$x_{19} = 81.6814089933346$$
$$x_{20} = -31.4159265358979$$
$$x_{21} = 94.2477796076938$$
$$x_{22} = -7420.44184777909$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/4).
$$\cos{\left(\frac{0}{4} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(4*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 4 \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \pi$$
$$x_{2} = 6 \pi$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \pi, 6 \pi\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \pi\right] \cup \left[6 \pi, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$$
- No
$$\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x/4)