Sr Examen

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cos(x/4)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x/4)

Gráfico de la función y = cos(x/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = cos|-|
          \4/
f(x)=cos⁡(x4)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} 
f = cos(x/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x4)=0\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2πx_{1} = 2 \pi
x2=6πx_{2} = 6 \pi
Solución numérica
x1=31.4159265358979x_{1} = 31.4159265358979
x2=−56.5486677646163x_{2} = -56.5486677646163
x3=69.1150383789755x_{3} = 69.1150383789755
x4=−81.6814089933346x_{4} = -81.6814089933346
x5=1602.21225333079x_{5} = 1602.21225333079
x6=−953517.352661652x_{6} = -953517.352661652
x7=106.814150222053x_{7} = 106.814150222053
x8=6465.39768108779x_{8} = 6465.39768108779
x9=−94.2477796076938x_{9} = -94.2477796076938
x10=6.28318530717959x_{10} = 6.28318530717959
x11=−69.1150383789755x_{11} = -69.1150383789755
x12=−18.8495559215388x_{12} = -18.8495559215388
x13=18.8495559215388x_{13} = 18.8495559215388
x14=−43.9822971502571x_{14} = -43.9822971502571
x15=−6.28318530717959x_{15} = -6.28318530717959
x16=43.9822971502571x_{16} = 43.9822971502571
x17=56.5486677646163x_{17} = 56.5486677646163
x18=5447.5216613247x_{18} = 5447.5216613247
x19=81.6814089933346x_{19} = 81.6814089933346
x20=−31.4159265358979x_{20} = -31.4159265358979
x21=94.2477796076938x_{21} = 94.2477796076938
x22=−7420.44184777909x_{22} = -7420.44184777909
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/4).
cos⁡(04)\cos{\left(\frac{0}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x4)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=4πx_{2} = 4 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(4*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4πx_{1} = 4 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[4π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,4π]\left[0, 4 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x4)16=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2πx_{1} = 2 \pi
x2=6πx_{2} = 6 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2π,6π]\left[2 \pi, 6 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,2π]∪[6π,∞)\left(-\infty, 2 \pi\right] \cup \left[6 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x4)=cos⁡(x4)\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
- No
cos⁡(x4)=−cos⁡(x4)\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x/4)
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