Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- dos *cos(t)-cos(tres *t)
- 2 multiplicar por coseno de (t) menos coseno de (3 multiplicar por t)
- dos multiplicar por coseno de (t) menos coseno de (tres multiplicar por t)
- 2cos(t)-cos(3t)
- 2cost-cos3t
-
Expresiones semejantes
- 2*cos(t)+cos(3*t)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(1/2*x)
- cos(k*20)
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(1/2*x)
- cos(k*20)
Gráfico de la función y = 2*cos(t)-cos(3*t)
Solución
Ha introducido
[src]
f(t) = 2*cos(t) - cos(3*t)
$$f{\left(t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}$$
f = 2*cos(t) - cos(3*t)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 14.1371669411541$$
$$t_{2} = 73.8274273593601$$
$$t_{3} = 89.5353906273091$$
$$t_{4} = -23.5619449019235$$
$$t_{5} = -86.3937979737193$$
$$t_{6} = 20.4203522483337$$
$$t_{7} = -64.4026493985908$$
$$t_{8} = 42.4115008234622$$
$$t_{9} = -42.4115008234622$$
$$t_{10} = -29.845130209103$$
$$t_{11} = 51.8362787842316$$
$$t_{12} = 1.5707963267949$$
$$t_{13} = -67.5442420521806$$
$$t_{14} = -36.1283155162826$$
$$t_{15} = 45.553093477052$$
$$t_{16} = -80.1106126665397$$
$$t_{17} = 86.3937979737193$$
$$t_{18} = -73.8274273593601$$
$$t_{19} = 64.4026493985908$$
$$t_{20} = 95.8185759344887$$
$$t_{21} = -1.5707963267949$$
$$t_{22} = -10.9955742875643$$
$$t_{23} = -20.4203522483337$$
$$t_{24} = 142.942465738336$$
$$t_{25} = 92.6769832808989$$
$$t_{26} = 36.1283155162826$$
$$t_{27} = -58.1194640914112$$
$$t_{28} = 4.71238898038469$$
$$t_{29} = 1547.23438189297$$
$$t_{30} = -95.8185759344887$$
$$t_{31} = -51.8362787842316$$
$$t_{32} = 23.5619449019235$$
$$t_{33} = 67.5442420521806$$
$$t_{34} = -72044.5735284479$$
$$t_{35} = -14.1371669411541$$
$$t_{36} = 76.9690200129499$$
$$t_{37} = 80.1106126665397$$
$$t_{38} = -7.85398163397448$$
$$t_{39} = 7.85398163397448$$
$$t_{40} = 58.1194640914112$$
$$t_{41} = -45.553093477052$$
$$t_{42} = 70.6858347057703$$
$$t_{43} = 259.181393921158$$
$$t_{44} = 26.7035375555132$$
$$t_{45} = -89.5353906273091$$
$$t_{46} = 10.9955742875643$$
$$t_{47} = -54.9778714378214$$
$$t_{48} = 29.845130209103$$
$$t_{49} = -287.455727803466$$
$$t_{50} = 111.526539202438$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 14.1371669411541$$
$$t_{2} = 73.8274273593601$$
$$t_{3} = 89.5353906273091$$
$$t_{4} = -23.5619449019235$$
$$t_{5} = -86.3937979737193$$
$$t_{6} = 20.4203522483337$$
$$t_{7} = -64.4026493985908$$
$$t_{8} = 42.4115008234622$$
$$t_{9} = -42.4115008234622$$
$$t_{10} = -29.845130209103$$
$$t_{11} = 51.8362787842316$$
$$t_{12} = 1.5707963267949$$
$$t_{13} = -67.5442420521806$$
$$t_{14} = -36.1283155162826$$
$$t_{15} = 45.553093477052$$
$$t_{16} = -80.1106126665397$$
$$t_{17} = 86.3937979737193$$
$$t_{18} = -73.8274273593601$$
$$t_{19} = 64.4026493985908$$
$$t_{20} = 95.8185759344887$$
$$t_{21} = -1.5707963267949$$
$$t_{22} = -10.9955742875643$$
$$t_{23} = -20.4203522483337$$
$$t_{24} = 142.942465738336$$
$$t_{25} = 92.6769832808989$$
$$t_{26} = 36.1283155162826$$
$$t_{27} = -58.1194640914112$$
$$t_{28} = 4.71238898038469$$
$$t_{29} = 1547.23438189297$$
$$t_{30} = -95.8185759344887$$
$$t_{31} = -51.8362787842316$$
$$t_{32} = 23.5619449019235$$
$$t_{33} = 67.5442420521806$$
$$t_{34} = -72044.5735284479$$
$$t_{35} = -14.1371669411541$$
$$t_{36} = 76.9690200129499$$
$$t_{37} = 80.1106126665397$$
$$t_{38} = -7.85398163397448$$
$$t_{39} = 7.85398163397448$$
$$t_{40} = 58.1194640914112$$
$$t_{41} = -45.553093477052$$
$$t_{42} = 70.6858347057703$$
$$t_{43} = 259.181393921158$$
$$t_{44} = 26.7035375555132$$
$$t_{45} = -89.5353906273091$$
$$t_{46} = 10.9955742875643$$
$$t_{47} = -54.9778714378214$$
$$t_{48} = 29.845130209103$$
$$t_{49} = -287.455727803466$$
$$t_{50} = 111.526539202438$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(t \right)} + 3 \sin{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
$$t_{3} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-1 - \sqrt{35} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{4} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{35} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \pi$$
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2}$$
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(t \right)} + 3 \sin{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
$$t_{3} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-1 - \sqrt{35} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{4} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{35} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
(pi, -1)
/ / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-1 - I*\/ 35 / + log(6)/ |3*I*\- log\-1 - I*\/ 35 / + log(6)/| |I*\- log\-1 - I*\/ 35 / + log(6)/|
(---------------------------------, - cos|-----------------------------------| + 2*cos|---------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / / / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-1 + I*\/ 35 / + log(6)/ |3*I*\- log\-1 + I*\/ 35 / + log(6)/| |I*\- log\-1 + I*\/ 35 / + log(6)/|
(---------------------------------, - cos|-----------------------------------| + 2*cos|---------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \pi$$
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2}$$
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \cos{\left(t \right)} + 9 \cos{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(11 - \sqrt{203} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{4} = \frac{i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(11 + \sqrt{203} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{203} i}}{6} \right)}$$
$$t_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 + \sqrt{203} i}}{6} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{11} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{11} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \cos{\left(t \right)} + 9 \cos{\left(3 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(11 - \sqrt{203} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{4} = \frac{i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(11 + \sqrt{203} i \right)}\right)}{2}$$
$$t_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{203} i}}{6} \right)}$$
$$t_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 + \sqrt{203} i}}{6} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{11} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{11} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(t) - cos(3*t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}$$
- Sí
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = - 2 \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}$$
- Sí
$$2 \cos{\left(t \right)} - \cos{\left(3 t \right)} = - 2 \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(3 t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par