Gráfico de la función y = (x+ln(x))/(x*2)

Ha introducido [src]

       x + log(x)
f(x) = ----------
          x*2

f{\left(x \right)} = \frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x}

f = (x + log(x))/((2*x))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = W\left(1\right)

Solución numérica

x_{1} = 0.567143290409784

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + log(x))/((x*2)).

\frac{\log{\left(0 \right)}}{0 \cdot 2}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}

signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\frac{1}{2 x} \left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = e

Signos de extremos en los puntos:

             -1 
    (1 + E)*e   
(E, -----------)
         2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:

x_{1} = e

Decrece en los intervalos

\left(-\infty, e\right]

Crece en los intervalos

\left[e, \infty\right)

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{-1 + \frac{x + \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{3}{2 x}}{x^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = e^{\frac{3}{2}}

Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:

x_{1} = 0

\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-1 + \frac{x + \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{3}{2 x}}{x^{2}}\right) = \infty

\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + \frac{x + \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{3}{2 x}}{x^{2}}\right) = -\infty

- los límites no son iguales, signo

x_{1} = 0

- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = \frac{1}{2}

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = \frac{1}{2}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + log(x))/((x*2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(x + \log{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \left(x + \log{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x} = - \frac{- x + \log{\left(- x \right)}}{2 x}

- No

\frac{x + \log{\left(x \right)}}{2 x} = \frac{- x + \log{\left(- x \right)}}{2 x}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = (x+ln(x))/(x*2)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución