Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(1/x)/(x-pi)

Gráfico de la función y = sin(1/x)/(x-pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1\
       sin|-|
          \x/
f(x) = ------
       x - pi
f(x)=sin⁡(1x)x−πf{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi} 
f = sin(1/x)/(x - pi)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(1x)x−π=0\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1πx_{1} = \frac{1}{\pi}
Solución numérica
x1=0.318309886183791x_{1} = 0.318309886183791
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(1/x)/(x - pi).
sin⁡(10)(−1)π\frac{\sin{\left(\frac{1}{0} \right)}}{\left(-1\right) \pi}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(1x)(x−π)2−cos⁡(1x)x2(x−π)=0- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x - \pi\right)^{2}} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \left(x - \pi\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡(1x)(x−π)2+2cos⁡(1x)x2(x−π)+2cos⁡(1x)−sin⁡(1x)xx3x−π=0\frac{\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x - \pi\right)^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \left(x - \pi\right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}}{x - \pi} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6036.58577380052x_{1} = -6036.58577380052
x2=9439.60164515275x_{2} = 9439.60164515275
x3=10093.9861524262x_{3} = 10093.9861524262
x4=2672.59914142838x_{4} = 2672.59914142838
x5=−2103.85757747776x_{5} = -2103.85757747776
x6=5512.4230916673x_{6} = 5512.4230916673
x7=−1664.81794261702x_{7} = -1664.81794261702
x8=6167.12296517052x_{8} = 6167.12296517052
x9=4857.59065292343x_{9} = 4857.59065292343
x10=−10399.7128578208x_{10} = -10399.7128578208
x11=4639.2739666018x_{11} = 4639.2739666018
x12=−3635.13246059397x_{12} = -3635.13246059397
x13=−4071.99175234101x_{13} = -4071.99175234101
x14=−10835.9496655612x_{14} = -10835.9496655612
x15=9657.73244039986x_{15} = 9657.73244039986
x16=−10181.5913738514x_{16} = -10181.5913738514
x17=−3416.63528954843x_{17} = -3416.63528954843
x18=2234.58865242645x_{18} = 2234.58865242645
x19=−2541.93401946594x_{19} = -2541.93401946594
x20=−8218.37638218406x_{20} = -8218.37638218406
x21=10530.2304510805x_{21} = 10530.2304510805
x22=3547.23274074674x_{22} = 3547.23274074674
x23=−5163.61492826338x_{23} = -5163.61492826338
x24=−6909.38381101966x_{24} = -6909.38381101966
x25=4420.93281466911x_{25} = 4420.93281466911
x26=−5600.1269454978x_{26} = -5600.1269454978
x27=8348.90001232911x_{27} = 8348.90001232911
x28=2891.39153275004x_{28} = 2891.39153275004
x29=6603.53544126308x_{29} = 6603.53544126308
x30=3328.69068622548x_{30} = 3328.69068622548
x31=6385.33387132668x_{31} = 6385.33387132668
x32=1795.66481584954x_{32} = 1795.66481584954
x33=−8654.66909205839x_{33} = -8654.66909205839
x34=6821.72857426908x_{34} = 6821.72857426908
x35=8785.19114673091x_{35} = 8785.19114673091
x36=−11054.0652312485x_{36} = -11054.0652312485
x37=−8000.22384279978x_{37} = -8000.22384279978
x38=3110.0820040762x_{38} = 3110.0820040762
x39=−9963.46765765076x_{39} = -9963.46765765076
x40=5730.6688594219x_{40} = 5730.6688594219
x41=−9527.21291879904x_{41} = -9527.21291879904
x42=9003.33121848942x_{42} = 9003.33121848942
x43=−4727.03519067431x_{43} = -4727.03519067431
x44=−4290.36738412697x_{44} = -4290.36738412697
x45=7694.43114135566x_{45} = 7694.43114135566
x46=−6254.79868617554x_{46} = -6254.79868617554
x47=3984.1609499801x_{47} = 3984.1609499801
x48=−5818.36226837651x_{48} = -5818.36226837651
x49=8130.74835775075x_{49} = 8130.74835775075
x50=−5381.87838463543x_{50} = -5381.87838463543
x51=−4508.71387076107x_{51} = -4508.71387076107
x52=5294.16278090678x_{52} = 5294.16278090678
x53=−3853.58211306336x_{53} = -3853.58211306336
x54=−7782.06672155466x_{54} = -7782.06672155466
x55=7912.59219570683x_{55} = 7912.59219570683
x56=−10617.8322464235x_{56} = -10617.8322464235
x57=−8872.8098668416x_{57} = -8872.8098668416
x58=5948.90169104348x_{58} = 5948.90169104348
x59=−2322.98364195377x_{59} = -2322.98364195377
x60=2015.27806635047x_{60} = 2015.27806635047
x61=−1884.49781064975x_{61} = -1884.49781064975
x62=−7563.9046250385x_{62} = -7563.9046250385
x63=10312.1094035261x_{63} = 10312.1094035261
x64=−9309.08155576863x_{64} = -9309.08155576863
x65=9221.46797442319x_{65} = 9221.46797442319
x66=2453.67751658293x_{66} = 2453.67751658293
x67=−2979.45767137699x_{67} = -2979.45767137699
x68=−6473.00206648509x_{68} = -6473.00206648509
x69=−3198.08109678725x_{69} = -3198.08109678725
x70=7039.91405776322x_{70} = 7039.91405776322
x71=−2760.74905976284x_{71} = -2760.74905976284
x72=−6691.19683866279x_{72} = -6691.19683866279
x73=5075.88604278917x_{73} = 5075.88604278917
x74=3765.71980294301x_{74} = 3765.71980294301
x75=8567.04750495924x_{75} = 8567.04750495924
x76=7476.26476477424x_{76} = 7476.26476477424
x77=7258.09258415983x_{77} = 7258.09258415983
x78=1575.62328638749x_{78} = 1575.62328638749
x79=−9090.94727636317x_{79} = -9090.94727636317
x80=−4945.33463032787x_{80} = -4945.33463032787
x81=10748.3494296442x_{81} = 10748.3494296442
x82=−7127.5636937748x_{82} = -7127.5636937748
x83=−7345.73711349166x_{83} = -7345.73711349166
x84=9875.86055130205x_{84} = 9875.86055130205
x85=−9745.34156017184x_{85} = -9745.34156017184
x86=−8436.52469271616x_{86} = -8436.52469271616
x87=4202.56336684401x_{87} = 4202.56336684401
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→3.14159265358979−(2sin⁡(1x)(x−π)2+2cos⁡(1x)x2(x−π)+2cos⁡(1x)−sin⁡(1x)xx3x−π)=−1(−3.57618238781008π2−0.111889909866023π4−5.66584098743708+0.00588168894525661π5+7.16097918087282π+0.888969963637469π3)−62.8318530717959π3−1.90985931710274π5−186.037660081799π+97.4090910340024+0.101321183642338π6+148.04406601634π2+15π4\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x - \pi\right)^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \left(x - \pi\right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}}{x - \pi}\right) = - \frac{1 \left(- 3.57618238781008 \pi^{2} - 0.111889909866023 \pi^{4} - 5.66584098743708 + 0.00588168894525661 \pi^{5} + 7.16097918087282 \pi + 0.888969963637469 \pi^{3}\right)}{- 62.8318530717959 \pi^{3} - 1.90985931710274 \pi^{5} - 186.037660081799 \pi + 97.4090910340024 + 0.101321183642338 \pi^{6} + 148.04406601634 \pi^{2} + 15 \pi^{4}}
lim⁡x→3.14159265358979+(2sin⁡(1x)(x−π)2+2cos⁡(1x)x2(x−π)+2cos⁡(1x)−sin⁡(1x)xx3x−π)=−1(−3.57618238781008π2−0.111889909866023π4−5.66584098743708+0.00588168894525661π5+7.16097918087282π+0.888969963637469π3)−62.8318530717959π3−1.90985931710274π5−186.037660081799π+97.4090910340024+0.101321183642338π6+148.04406601634π2+15π4\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x - \pi\right)^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \left(x - \pi\right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}}{x - \pi}\right) = - \frac{1 \left(- 3.57618238781008 \pi^{2} - 0.111889909866023 \pi^{4} - 5.66584098743708 + 0.00588168894525661 \pi^{5} + 7.16097918087282 \pi + 0.888969963637469 \pi^{3}\right)}{- 62.8318530717959 \pi^{3} - 1.90985931710274 \pi^{5} - 186.037660081799 \pi + 97.4090910340024 + 0.101321183642338 \pi^{6} + 148.04406601634 \pi^{2} + 15 \pi^{4}}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(1x)x−π)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(1x)x−π)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/x)/(x - pi), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(1x)x(x−π))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \left(x - \pi\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(1x)x(x−π))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \left(x - \pi\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(1x)x−π=−sin⁡(1x)−x−π\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi} = - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{- x - \pi}
- No
sin⁡(1x)x−π=sin⁡(1x)−x−π\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x - \pi} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{- x - \pi}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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