Sr Examen

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-1+(-1-x)*exp(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ -1+(-1-x)*exp(3*x)

Gráfico de la función y = -1+(-1-x)*exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      3*x
f(x) = -1 + (-1 - x)*e
f(x)=(−x−1)e3x−1f{\left(x \right)} = \left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1 
f = (-x - 1)*exp(3*x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000000000000100000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x−1)e3x−1=0\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1 + (-1 - x)*exp(3*x).
−1+(−1−0)e0⋅3-1 + \left(-1 - 0\right) e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(−x−1)e3x−e3x=03 \left(- x - 1\right) e^{3 x} - e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}
Signos de extremos en los puntos:
             -4 
            e   
(-4/3, -1 + ---)
             3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−43]\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]
Crece en los intervalos
[−43,∞)\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(3x+5)e3x=0- 3 \left(3 x + 5\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−53x_{1} = - \frac{5}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−53]\left(-\infty, - \frac{5}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−53,∞)\left[- \frac{5}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x−1)e3x−1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞((−x−1)e3x−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 + (-1 - x)*exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x−1)e3x−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−x−1)e3x−1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x−1)e3x−1=(x−1)e−3x−1\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1 = \left(x - 1\right) e^{- 3 x} - 1
- No
(−x−1)e3x−1=−(x−1)e−3x+1\left(- x - 1\right) e^{3 x} - 1 = - \left(x - 1\right) e^{- 3 x} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -1+(-1-x)*exp(3*x)
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