Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(3+x+sqrt(6*x+x^2))

Gráfico de la función y = log(3+x+sqrt(6*x+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /           __________\
          |          /        2 |
f(x) = log\3 + x + \/  6*x + x  /
f(x)=log⁡((x+3)+x2+6x)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} 
f = log(x + 3 + sqrt(x^2 + 6*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x+3)+x2+6x)=0\log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3 + x + sqrt(6*x + x^2)).
log⁡(0⋅6+02+3)\log{\left(\sqrt{0 \cdot 6 + 0^{2}} + 3 \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(3)f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)}
Punto:
(0, log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+3x2+6x+1(x+3)+x2+6x=0\frac{\frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 6 x}} + 1}{\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+x+3x(x+6))2x+x(x+6)+3+−1+(x+3)2x(x+6)x(x+6)x+x(x+6)+3=0- \frac{\frac{\left(1 + \frac{x + 3}{\sqrt{x \left(x + 6\right)}}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 6\right)} + 3} + \frac{-1 + \frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x + 6\right)}}{\sqrt{x \left(x + 6\right)}}}{x + \sqrt{x \left(x + 6\right)} + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x+3)+x2+6x)=−∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x+3)+x2+6x)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3 + x + sqrt(6*x + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x+3)+x2+6x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x+3)+x2+6x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x+3)+x2+6x)=log⁡(−x+x2−6x+3)\log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} = \log{\left(- x + \sqrt{x^{2} - 6 x} + 3 \right)}
- No
log⁡((x+3)+x2+6x)=−log⁡(−x+x2−6x+3)\log{\left(\left(x + 3\right) + \sqrt{x^{2} + 6 x} \right)} = - \log{\left(- x + \sqrt{x^{2} - 6 x} + 3 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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