Gráfico de la función y = (1+tan(x))/(1-tan(x))

Solución

Ha introducido [src]

       1 + tan(x)
f(x) = ----------
       1 - tan(x)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}}$$

f = (tan(x) + 1)/(1 - tan(x))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -101.316363078271$$
$$x_{2} = 93.4623814442964$$
$$x_{3} = 21.2057504117311$$
$$x_{4} = 43.1968989868597$$
$$x_{5} = 90.3207887907066$$
$$x_{6} = -10.2101761241668$$
$$x_{7} = -19.6349540849362$$
$$x_{8} = 71.4712328691678$$
$$x_{9} = -44.7676953136546$$
$$x_{10} = -41.6261026600648$$
$$x_{11} = 11.7809724509617$$
$$x_{12} = 18.0641577581413$$
$$x_{13} = 8.63937979737193$$
$$x_{14} = -66.7588438887831$$
$$x_{15} = -60.4756585816035$$
$$x_{16} = 27.4889357189107$$
$$x_{17} = 74.6128255227576$$
$$x_{18} = -29.0597320457056$$
$$x_{19} = 40.0553063332699$$
$$x_{20} = -85.6083998103219$$
$$x_{21} = 33.7721210260903$$
$$x_{22} = -47.9092879672443$$
$$x_{23} = -57.3340659280137$$
$$x_{24} = 84.037603483527$$
$$x_{25} = -54.1924732744239$$
$$x_{26} = -76.1836218495525$$
$$x_{27} = -32.2013246992954$$
$$x_{28} = -73.0420291959627$$
$$x_{29} = 30.6305283725005$$
$$x_{30} = -82.4668071567321$$
$$x_{31} = -38.484510006475$$
$$x_{32} = 96.6039740978861$$
$$x_{33} = -22.776546738526$$
$$x_{34} = -79.3252145031423$$
$$x_{35} = 2.35619449019234$$
$$x_{36} = 68.329640215578$$
$$x_{37} = 65.1880475619882$$
$$x_{38} = -13.3517687777566$$
$$x_{39} = -88.7499924639117$$
$$x_{40} = 80.8960108299372$$
$$x_{41} = -51.0508806208341$$
$$x_{42} = 36.9137136796801$$
$$x_{43} = -69.9004365423729$$
$$x_{44} = -7.06858347057703$$
$$x_{45} = -16.4933614313464$$
$$x_{46} = -3.92699081698724$$
$$x_{47} = 62.0464549083984$$
$$x_{48} = 49.4800842940392$$
$$x_{49} = -98.174770424681$$
$$x_{50} = 46.3384916404494$$
$$x_{51} = -25.9181393921158$$
$$x_{52} = 52.621676947629$$
$$x_{53} = 24.3473430653209$$
$$x_{54} = -0.785398163397448$$
$$x_{55} = 5.49778714378214$$
$$x_{56} = -63.6172512351933$$
$$x_{57} = 99.7455667514759$$
$$x_{58} = 58.9048622548086$$
$$x_{59} = 14.9225651045515$$
$$x_{60} = -91.8915851175014$$
$$x_{61} = 55.7632696012188$$
$$x_{62} = -95.0331777710912$$
$$x_{63} = -35.3429173528852$$
$$x_{64} = 77.7544181763474$$
$$x_{65} = 87.1791961371168$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + tan(x))/(1 - tan(x)).
$$\frac{\tan{\left(0 \right)} + 1}{1 - \tan{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:

(0, 1)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(1 - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

$$\lim_{x \to 0.785398163397448^-}\left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.16920130986472 \cdot 10^{49}$$
$$\lim_{x \to 0.785398163397448^+}\left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.16920130986472 \cdot 10^{49}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$

True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + tan(x))/(1 - tan(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$

True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}} = \frac{1 - \tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}$$
- No
$$\frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{1 - \tan{\left(x \right)}} = - \frac{1 - \tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = (1+tan(x))/(1-tan(x))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución