Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x^(sin(x)^(-1))

Gráfico de la función y = x^(sin(x)^(-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
        ------
        sin(x)
f(x) = x
f(x)=x1sin⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} 
f = x^(1/sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e35
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/sin(x)).
01sin⁡(0)0^{\frac{1}{\sin{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x1sin⁡(x)(−log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1xsin⁡(x))=0x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=26.6921312238817x_{1} = 26.6921312238817
x2=20.4041023382903x_{2} = 20.4041023382903
x3=−37.75x_{3} = -37.75
x4=50.25x_{4} = 50.25
x5=−88x_{5} = -88
x6=86.3912019828871x_{6} = 86.3912019828871
x7=53.526597926398x_{7} = 53.526597926398
x8=58.1152284244549x_{8} = 58.1152284244549
x9=15.7898990759671x_{9} = 15.7898990759671
x10=32.9780490041777x_{10} = 32.9780490041777
x11=64.3989212407786x_{11} = 64.3989212407786
x12=97.5257536760372x_{12} = 97.5257536760372
x13=59.8030220942766x_{13} = 59.8030220942766
x14=66x_{14} = 66
x15=29.8352599644537x_{15} = 29.8352599644537
x16=83.2494887924341x_{16} = 83.2494887924341
x17=14.1103988466897x_{17} = 14.1103988466897
x18=51.8313919571948x_{18} = 51.8313919571948
x19=18.7682566750316x_{19} = 18.7682566750316
x20=76.9660286205529x_{20} = 76.9660286205529
x21=42.4052077913436x_{21} = 42.4052077913436
x22=4.5693324620518x_{22} = 4.5693324620518
x23=73.824278447674x_{23} = 73.824278447674
x24=62.7080210066735x_{24} = 62.7080210066735
x25=22x_{25} = 22
x26=89.5329056365462x_{26} = 89.5329056365462
x27=7.79154865047658x_{27} = 7.79154865047658
x28=100.414559074431x_{28} = 100.414559074431
x29=39.2629689526722x_{29} = 39.2629689526722
x30=80.1077648251051x_{30} = 80.1077648251051
x31=36.1205972166796x_{31} = 36.1205972166796
x32=45.5473442340602x_{32} = 45.5473442340602
x33=95.8162884222424x_{33} = 95.8162884222424
x34=6.2592229975742x_{34} = 6.2592229975742
x35=70.6825122397054x_{35} = 70.6825122397054
x36=56.4400864367509x_{36} = 56.4400864367509
x37=68.9887483572653x_{37} = 68.9887483572653
x38=−44x_{38} = -44
Signos de extremos en los puntos:
(26.6921312238817, 26.6978350608714)

(20.40410233829026, 20.4122290900788)

(-37.75, 4.78752662329145e-32 + 8.7460866311899e-32*I)

(50.25, 1.31990323279526e-110)

(-88, 8.28020962121587e-56 - 8.27719394410315e-56*I)

(86.39120198288714, 0.0115750788567276)

(53.526597926398004, 3.18604476984654e-15)

(58.11522842445492, 58.117346299689)

(15.789899075967103, 2.2792410043695e-15)

(32.978049004177706, 32.9823862458165)

(64.39892124077859, 64.4007853488227)

(97.52575367603717, 2.34269138162117e-15)

(59.80302209427657, 1.6222377161517e-16)

(66, 2.95291162393481e-69)

(29.83525996445367, 0.0335118447473236)

(83.24948879243405, 83.2508470681975)

(14.110398846689714, 14.1237900434614)

(51.831391957194754, 51.8338354331701)

(18.76825667503158, 2.08600698233504e-16)

(76.96602862055293, 76.9675243324)

(42.40520779134358, 0.023580259440244)

(4.5693324620518005, 0.215445379574359)

(73.82427844767399, 0.0135453904076375)

(62.70802100667347, 2.8095792969552e-15)

(22, 2.16899662720143e-152)

(89.53290563654622, 89.5341481411885)

(7.791548650476578, 7.82283794408322)

(100.41455907443121, 5.81297613213629e-18)

(39.26296895267222, 39.2664387285027)

(80.10776482510508, 0.0124829625101173)

(36.12059721667958, 0.0276820773056786)

(45.54734423406025, 45.5502189541894)

(95.81628842224237, 95.8174321856908)

(6.259222997574204, 5.70513104723386e-34)

(70.68251223970545, 70.684173493788)

(56.44008643675086, 6.86569597803646e-17)

(68.98874835726528, 2.51918392784344e-15)

(-44, 4.06911553765573e-95 - 1.44374825005139e-93*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=26.6921312238817x_{1} = 26.6921312238817
x2=20.4041023382903x_{2} = 20.4041023382903
x3=58.1152284244549x_{3} = 58.1152284244549
x4=32.9780490041777x_{4} = 32.9780490041777
x5=64.3989212407786x_{5} = 64.3989212407786
x6=83.2494887924341x_{6} = 83.2494887924341
x7=14.1103988466897x_{7} = 14.1103988466897
x8=51.8313919571948x_{8} = 51.8313919571948
x9=76.9660286205529x_{9} = 76.9660286205529
x10=89.5329056365462x_{10} = 89.5329056365462
x11=7.79154865047658x_{11} = 7.79154865047658
x12=39.2629689526722x_{12} = 39.2629689526722
x13=45.5473442340602x_{13} = 45.5473442340602
x14=95.8162884222424x_{14} = 95.8162884222424
x15=70.6825122397054x_{15} = 70.6825122397054
Puntos máximos de la función:
x15=86.3912019828871x_{15} = 86.3912019828871
x15=29.8352599644537x_{15} = 29.8352599644537
x15=42.4052077913436x_{15} = 42.4052077913436
x15=4.5693324620518x_{15} = 4.5693324620518
x15=73.824278447674x_{15} = 73.824278447674
x15=80.1077648251051x_{15} = 80.1077648251051
x15=36.1205972166796x_{15} = 36.1205972166796
Decrece en los intervalos
[95.8162884222424,∞)\left[95.8162884222424, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,7.79154865047658]\left(-\infty, 7.79154865047658\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x1sin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1x)2sin⁡(x)+log⁡(x)+2log⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)−2cos⁡(x)xsin⁡(x)−1x2)sin⁡(x)=0\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=54.4260608299356x_{1} = 54.4260608299356
x2=−44x_{2} = -44
x3=86.9061763330338x_{3} = 86.9061763330338
x4=12.5525347309692x_{4} = 12.5525347309692
x5=48.132415012119x_{5} = 48.132415012119
x6=92.1642591726648x_{6} = 92.1642591726648
x7=41.8365554525546x_{7} = 41.8365554525546
x8=59.7944490194571x_{8} = 59.7944490194571
x9=10.2243642972258x_{9} = 10.2243642972258
x10=50.25x_{10} = 50.25
x11=6.2594442096594x_{11} = 6.2594442096594
x12=−88x_{12} = -88
x13=1.38488717836238x_{13} = 1.38488717836238
x14=56.4475370461237x_{14} = 56.4475370461237
x15=100.420807235598x_{15} = 100.420807235598
x16=29.2335904685151x_{16} = 29.2335904685151
x17=35.5375138977161x_{17} = 35.5375138977161
x18=93.1850108758594x_{18} = 93.1850108758594
x19=−37.75x_{19} = -37.75
x20=30.4375079183201x_{20} = 30.4375079183201
x21=17.9254154332184x_{21} = 17.9254154332184
x22=24.1765054912273x_{22} = 24.1765054912273
x23=68.0726791256809x_{23} = 68.0726791256809
x24=98.4517815142212x_{24} = 98.4517815142212
x25=59.7777795213625x_{25} = 59.7777795213625
x26=59.7623451592196x_{26} = 59.7623451592196
x27=22x_{27} = 22
x28=66x_{28} = 66
x29=74.3499116522744x_{29} = 74.3499116522744
x30=85.8763051142636x_{30} = 85.8763051142636
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979

lim⁡x→0−(x1sin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1x)2sin⁡(x)+log⁡(x)+2log⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)−2cos⁡(x)xsin⁡(x)−1x2)sin⁡(x))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(x1sin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1x)2sin⁡(x)+log⁡(x)+2log⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)−2cos⁡(x)xsin⁡(x)−1x2)sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→3.14159265358979−(x1sin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1x)2sin⁡(x)+log⁡(x)+2log⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)−2cos⁡(x)xsin⁡(x)−1x2)sin⁡(x))=2.26000424506132⋅104059536782689317\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}
lim⁡x→3.14159265358979+(x1sin⁡(x)((log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1x)2sin⁡(x)+log⁡(x)+2log⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)−2cos⁡(x)xsin⁡(x)−1x2)sin⁡(x))=2.26000424506132⋅104059536782689317\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[93.1850108758594,∞)\left[93.1850108758594, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.38488717836238]\left(-\infty, 1.38488717836238\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞x1sin⁡(x)y = \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞x1sin⁡(x)y = \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(x1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(x1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x1sin⁡(x)=(−x)−1sin⁡(x)x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
- No
x1sin⁡(x)=−(−x)−1sin⁡(x)x^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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