Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin((x+pi)/3)

Gráfico de la función y = sin((x+pi)/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + pi\
f(x) = sin|------|
          \  3   /
f(x)=sin⁡(x+π3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} 
f = sin((x + pi)/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x+π3)=0\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=109.955742875643x_{1} = 109.955742875643
x2=−97.3893722612836x_{2} = -97.3893722612836
x3=91.106186954104x_{3} = 91.106186954104
x4=6.28318530717959x_{4} = 6.28318530717959
x5=7809.99933682423x_{5} = 7809.99933682423
x6=15.707963267949x_{6} = 15.707963267949
x7=43.9822971502571x_{7} = 43.9822971502571
x8=−50.2654824574367x_{8} = -50.2654824574367
x9=128.805298797182x_{9} = 128.805298797182
x10=−40.8407044966673x_{10} = -40.8407044966673
x11=−59.6902604182061x_{11} = -59.6902604182061
x12=72.2566310325652x_{12} = 72.2566310325652
x13=−69.1150383789755x_{13} = -69.1150383789755
x14=62.8318530717959x_{14} = 62.8318530717959
x15=25.1327412287183x_{15} = 25.1327412287183
x16=100.530964914873x_{16} = 100.530964914873
x17=−87.9645943005142x_{17} = -87.9645943005142
x18=81.6814089933346x_{18} = 81.6814089933346
x19=−15412.6535585115x_{19} = -15412.6535585115
x20=−3.14159265358979x_{20} = -3.14159265358979
x21=−21.9911485751286x_{21} = -21.9911485751286
x22=−78.5398163397448x_{22} = -78.5398163397448
x23=−12.5663706143592x_{23} = -12.5663706143592
x24=53.4070751110265x_{24} = 53.4070751110265
x25=34.5575191894877x_{25} = 34.5575191894877
x26=−31.4159265358979x_{26} = -31.4159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin((x + pi)/3).
sin⁡(π3)\sin{\left(\frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x+π3)3=0\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=7π2x_{2} = \frac{7 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 2     

 7*pi     
(----, -1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=7π2x_{1} = \frac{7 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[7π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,7π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π3)9=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=2πx_{2} = 2 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π]∪[2π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π,2π]\left[- \pi, 2 \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((x + pi)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x+π3)=cos⁡(x3+π6)\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}
- No
sin⁡(x+π3)=−cos⁡(x3+π6)\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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