Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xe^x^2^4x+3

Gráfico de la función y = xe^x^2^4x+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 16\      
          \x  /      
f(x) = x*E     *x + 3
f(x)=xex16x+3f{\left(x \right)} = x e^{x^{16}} x + 3 
f = x*(E^(x^16)*x) + 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex16x+3=0x e^{x^{16}} x + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*E^(x^16))*x + 3.
0⋅0e016+30 \cdot 0 e^{0^{16}} + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex16x+x(ex16+16x16ex16)=0e^{x^{16}} x + x \left(e^{x^{16}} + 16 x^{16} e^{x^{16}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(8x16(16x16+17)+16x16+1)ex16=02 \left(8 x^{16} \left(16 x^{16} + 17\right) + 16 x^{16} + 1\right) e^{x^{16}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex16x+3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x^{16}} x + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xex16x+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x^{16}} x + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*E^(x^16))*x + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xex16x+3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x e^{x^{16}} x + 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xex16x+3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x^{16}} x + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex16x+3=x2ex16+3x e^{x^{16}} x + 3 = x^{2} e^{x^{16}} + 3
- No
xex16x+3=−x2ex16−3x e^{x^{16}} x + 3 = - x^{2} e^{x^{16}} - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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