Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xe^(5x)

Gráfico de la función y = xe^(5x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          5*x
f(x) = x*E
f(x)=e5xxf{\left(x \right)} = e^{5 x} x 
f = E^(5*x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101e23-5e22
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e5xx=0e^{5 x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−40.097339700484x_{1} = -40.097339700484
x2=−28.1077377499122x_{2} = -28.1077377499122
x3=−72.0871417253055x_{3} = -72.0871417253055
x4=−100.083702520396x_{4} = -100.083702520396
x5=−62.0891526430468x_{5} = -62.0891526430468
x6=−22.1177220793576x_{6} = -22.1177220793576
x7=−76.0864902902439x_{7} = -76.0864902902439
x8=−50.0926804134861x_{8} = -50.0926804134861
x9=−104.083365880228x_{9} = -104.083365880228
x10=−38.0985856557447x_{10} = -38.0985856557447
x11=−94.0842625773975x_{11} = -94.0842625773975
x12=−26.1105003061778x_{12} = -26.1105003061778
x13=−46.0942876944303x_{13} = -46.0942876944303
x14=−8.22763502772369x_{14} = -8.22763502772369
x15=−64.0886982550436x_{15} = -64.0886982550436
x16=−12.1624810640769x_{16} = -12.1624810640769
x17=−102.08353082211x_{17} = -102.08353082211
x18=−96.0840679178704x_{18} = -96.0840679178704
x19=−24.1137757759865x_{19} = -24.1137757759865
x20=−98.083881398955x_{20} = -98.083881398955
x21=−88.0849011032851x_{21} = -88.0849011032851
x22=0x_{22} = 0
x23=−54.0913222520768x_{23} = -54.0913222520768
x24=−30.1053762154051x_{24} = -30.1053762154051
x25=−16.1365788145515x_{25} = -16.1365788145515
x26=−14.1472558033337x_{26} = -14.1472558033337
x27=−34.1015508687036x_{27} = -34.1015508687036
x28=−90.0846785476673x_{28} = -90.0846785476673
x29=−6.32493857675712x_{29} = -6.32493857675712
x30=−18.1286686167371x_{30} = -18.1286686167371
x31=−74.0868069143416x_{31} = -74.0868069143416
x32=−36.0999799755566x_{32} = -36.0999799755566
x33=−66.0882724311596x_{33} = -66.0882724311596
x34=−84.0853789252274x_{34} = -84.0853789252274
x35=−44.0952072175632x_{35} = -44.0952072175632
x36=−48.0934488158397x_{36} = -48.0934488158397
x37=−58.0901594387814x_{37} = -58.0901594387814
x38=−60.089638569989x_{38} = -60.089638569989
x39=−82.0856358346555x_{39} = -82.0856358346555
x40=−68.0878725593843x_{40} = -68.0878725593843
x41=−78.0861904100623x_{41} = -78.0861904100623
x42=−42.0962196099167x_{42} = -42.0962196099167
x43=−56.0907191603359x_{43} = -56.0907191603359
x44=−52.0919739603108x_{44} = -52.0919739603108
x45=−70.0874963368298x_{45} = -70.0874963368298
x46=−32.103334188641x_{46} = -32.103334188641
x47=−86.0851343017212x_{47} = -86.0851343017212
x48=−20.1225696413239x_{48} = -20.1225696413239
x49=−92.084465922444x_{49} = -92.084465922444
x50=−80.0859059795857x_{50} = -80.0859059795857
x51=−10.186023560538x_{51} = -10.186023560538
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(5*x).
0e0⋅50 e^{0 \cdot 5}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5xe5x+e5x=05 x e^{5 x} + e^{5 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−15x_{1} = - \frac{1}{5}
Signos de extremos en los puntos:
         -1  
       -e    
(-1/5, -----)
         5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−15x_{1} = - \frac{1}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−15,∞)\left[- \frac{1}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−15]\left(-\infty, - \frac{1}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
5(5x+2)e5x=05 \left(5 x + 2\right) e^{5 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25x_{1} = - \frac{2}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−25,∞)\left[- \frac{2}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−25]\left(-\infty, - \frac{2}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e5xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{5 x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e5xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{5 x} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e5x=0\lim_{x \to -\infty} e^{5 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e5x=∞\lim_{x \to \infty} e^{5 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e5xx=−xe−5xe^{5 x} x = - x e^{- 5 x}
- No
e5xx=xe−5xe^{5 x} x = x e^{- 5 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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