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Trazado el gráfico de la función/ xe^(1/ln×)

Gráfico de la función y = xe^(1/ln×)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1   
          ------
          log(x)
f(x) = x*E
f(x)=e1log⁡(x)xf{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x 
f = E^(1/log(x))*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1log⁡(x)x=0e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(1/log(x)).
0e1log⁡(0)0 e^{\frac{1}{\log{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e1log⁡(x)−e1log⁡(x)log⁡(x)2=0e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} - \frac{e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}}}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=ex_{1} = e
x2=e−1x_{2} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
     2 
(E, e )

  -1   -2 
(e , e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=ex_{1} = e
Puntos máximos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−1]∪[e,∞)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e, \infty\right)
Crece en los intervalos
[e−1,e]\left[e^{-1}, e\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−1+2log⁡(x)+1log⁡(x)2)e1log⁡(x)xlog⁡(x)2=0\frac{\left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e1−2x_{1} = e^{1 - \sqrt{2}}
x2=e1+2x_{2} = e^{1 + \sqrt{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−((−1+2log⁡(x)+1log⁡(x)2)e1log⁡(x)xlog⁡(x)2)=0\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = 0
lim⁡x→1+((−1+2log⁡(x)+1log⁡(x)2)e1log⁡(x)xlog⁡(x)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e1−2,e1+2]\left[e^{1 - \sqrt{2}}, e^{1 + \sqrt{2}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,e1−2]∪[e1+2,∞)\left(-\infty, e^{1 - \sqrt{2}}\right] \cup \left[e^{1 + \sqrt{2}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e1log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e1log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(1/log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e1log⁡(x)=1\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞e1log⁡(x)=1\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e1log⁡(x)x=−xe1log⁡(−x)e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x = - x e^{\frac{1}{\log{\left(- x \right)}}}
- No
e1log⁡(x)x=xe1log⁡(−x)e^{\frac{1}{\log{\left(x \right)}}} x = x e^{\frac{1}{\log{\left(- x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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