Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xe^(-(x/4))

Gráfico de la función y = xe^(-(x/4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x 
          ---
           4 
f(x) = x*E
f(x)=e−x4xf{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{4}} x 
f = E^(-x/4)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x4x=0e^{- \frac{x}{4}} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=144.106451914649x_{1} = 144.106451914649
x2=171.133506160009x_{2} = 171.133506160009
x3=0x_{3} = 0
x4=151.764239220227x_{4} = 151.764239220227
x5=140.305664837211x_{5} = 140.305664837211
x6=136.52828514286x_{6} = 136.52828514286
x7=157.54662459814x_{7} = 157.54662459814
x8=155.61596255354x_{8} = 155.61596255354
x9=178.942064282917x_{9} = 178.942064282917
x10=163.35538611473x_{10} = 163.35538611473
x11=182.855813029775x_{11} = 182.855813029775
x12=180.898217564474x_{12} = 180.898217564474
x13=147.926951707089x_{13} = 147.926951707089
x14=142.203384233432x_{14} = 142.203384233432
x15=173.083058525846x_{15} = 173.083058525846
x16=184.814778790637x_{16} = 184.814778790637
x17=134.649806317294x_{17} = 134.649806317294
x18=149.843655580279x_{18} = 149.843655580279
x19=169.185845498517x_{19} = 169.185845498517
x20=161.416516010677x_{20} = 161.416516010677
x21=138.413781035978x_{21} = 138.413781035978
x22=176.987430340767x_{22} = 176.987430340767
x23=146.014435920424x_{23} = 146.014435920424
x24=186.77504777445x_{24} = 186.77504777445
x25=217.838670340738x_{25} = 217.838670340738
x26=130.916892348163x_{26} = 130.916892348163
x27=175.034398666226x_{27} = 175.034398666226
x28=153.688425088829x_{28} = 153.688425088829
x29=129.064251140936x_{29} = 129.064251140936
x30=132.779065223278x_{30} = 132.779065223278
x31=159.480205017069x_{31} = 159.480205017069
x32=167.240188968628x_{32} = 167.240188968628
x33=165.296658410119x_{33} = 165.296658410119
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(-x/4).
0e−040 e^{- \frac{0}{4}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xe−x44+e−x4=0- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
(4, 4*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Decrece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Crece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−8)e−x416=0\frac{\left(x - 8\right) e^{- \frac{x}{4}}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8x_{1} = 8

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[8,∞)\left[8, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,8]\left(-\infty, 8\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x4x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- \frac{x}{4}} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- \frac{x}{4}} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(-x/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−x4=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{x}{4}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e−x4=0\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{x}{4}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x4x=−xex4e^{- \frac{x}{4}} x = - x e^{\frac{x}{4}}
- No
e−x4x=xex4e^{- \frac{x}{4}} x = x e^{\frac{x}{4}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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