Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(pi/(3-2*x))

Gráfico de la función y = tan(pi/(3-2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   pi  \
f(x) = tan|-------|
          \3 - 2*x/
f(x)=tan⁡(π3−2x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} 
f = tan(pi/(3 - 2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(π3−2x)=0\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(pi/(3 - 2*x)).
tan⁡(π3−0)\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2π(tan⁡2(π3−2x)+1)(3−2x)2=0\frac{2 \pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} + 1\right)}{\left(3 - 2 x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8π(1+πtan⁡(π2x−3)2x−3)(tan⁡2(π2x−3)+1)(2x−3)3=0- \frac{8 \pi \left(1 + \frac{\pi \tan{\left(\frac{\pi}{2 x - 3} \right)}}{2 x - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{2 x - 3} \right)} + 1\right)}{\left(2 x - 3\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37564.6839489748x_{1} = 37564.6839489748
x2=−22591.4776203019x_{2} = -22591.4776203019
x3=−23439.6168585067x_{3} = -23439.6168585067
x4=30781.8866442634x_{4} = 30781.8866442634
x5=34173.3826068742x_{5} = 34173.3826068742
x6=28238.0948444293x_{6} = 28238.0948444293
x7=−31071.5583294302x_{7} = -31071.5583294302
x8=20605.2726437257x_{8} = 20605.2726437257
x9=24846.0611955096x_{9} = 24846.0611955096
x10=−40397.6915780213x_{10} = -40397.6915780213
x11=−14955.5071130638x_{11} = -14955.5071130638
x12=40955.8389623524x_{12} = 40955.8389623524
x13=−42940.9951857661x_{13} = -42940.9951857661
x14=−28527.7857145375x_{14} = -28527.7857145375
x15=−34463.0350345517x_{15} = -34463.0350345517
x16=35869.0541598361x_{16} = 35869.0541598361
x17=38412.4849084497x_{17} = 38412.4849084497
x18=−36158.6989305841x_{18} = -36158.6989305841
x19=21453.5176254634x_{19} = 21453.5176254634
x20=−37006.5152455885x_{20} = -37006.5152455885
x21=−29375.7283595964x_{21} = -29375.7283595964
x22=−33615.1858786989x_{22} = -33615.1858786989
x23=−42093.2339020585x_{23} = -42093.2339020585
x24=14665.4928007695x_{24} = 14665.4928007695
x25=−38702.1200299059x_{25} = -38702.1200299059
x26=−18350.042330728x_{26} = -18350.042330728
x27=40108.0618996539x_{27} = 40108.0618996539
x28=−21743.2967690053x_{28} = -21743.2967690053
x29=−14106.5656267116x_{29} = -14106.5656267116
x30=17211.6637132769x_{30} = 17211.6637132769
x31=23997.981531426x_{31} = 23997.981531426
x32=25694.1095438992x_{32} = 25694.1095438992
x33=−31919.4485879489x_{33} = -31919.4485879489
x34=−25135.7872947472x_{34} = -25135.7872947472
x35=−15804.30583525x_{35} = -15804.30583525
x36=2.06132224114021x_{36} = 2.06132224114021
x37=31629.7822989065x_{37} = 31629.7822989065
x38=13816.4959231469x_{38} = 13816.4959231469
x39=−19198.4496113037x_{39} = -19198.4496113037
x40=35021.2239824852x_{40} = 35021.2239824852
x41=22301.7140094446x_{41} = 22301.7140094446
x42=36716.8739136929x_{42} = 36716.8739136929
x43=18060.1779401391x_{43} = 18060.1779401391
x44=−27679.822374718x_{44} = -27679.822374718
x45=33325.529179521x_{45} = 33325.529179521
x46=18908.61083548x_{46} = 18908.61083548
x47=26542.1295709251x_{47} = 26542.1295709251
x48=39260.277379436x_{48} = 39260.277379436
x49=−24287.7188295379x_{49} = -24287.7188295379
x50=−39549.9096916263x_{50} = -39549.9096916263
x51=29086.0444422418x_{51} = 29086.0444422418
x52=−37854.3220710718x_{52} = -37854.3220710718
x53=19756.972829675x_{53} = 19756.972829675
x54=41803.6090208128x_{54} = 41803.6090208128
x55=−41245.4661680312x_{55} = -41245.4661680312
x56=−20046.7891823203x_{56} = -20046.7891823203
x57=−17501.5575453959x_{57} = -17501.5575453959
x58=15514.3382137047x_{58} = 15514.3382137047
x59=−25983.8255259729x_{59} = -25983.8255259729
x60=−35310.8724434589x_{60} = -35310.8724434589
x61=27390.1239010883x_{61} = 27390.1239010883
x62=32477.6627579731x_{62} = 32477.6627579731
x63=−20895.0692560487x_{63} = -20895.0692560487
x64=−32767.324065486x_{64} = -32767.324065486
x65=−26831.8363826365x_{65} = -26831.8363826365
x66=16363.0555751768x_{66} = 16363.0555751768
x67=29933.9745050392x_{67} = 29933.9745050392
x68=23149.86712x_{68} = 23149.86712
x69=−16652.9834768574x_{69} = -16652.9834768574
x70=−30223.6520482285x_{70} = -30223.6520482285
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1.5x_{1} = 1.5

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=1.5x_{1} = 1.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2.06132224114021,∞)\left[2.06132224114021, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2.06132224114021]\left(-\infty, 2.06132224114021\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞tan⁡(π3−2x)=0\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞tan⁡(π3−2x)=0\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(pi/(3 - 2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(tan⁡(π3−2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(tan⁡(π3−2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(π3−2x)=tan⁡(π2x+3)\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} = \tan{\left(\frac{\pi}{2 x + 3} \right)}
- No
tan⁡(π3−2x)=−tan⁡(π2x+3)\tan{\left(\frac{\pi}{3 - 2 x} \right)} = - \tan{\left(\frac{\pi}{2 x + 3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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