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Trazado el gráfico de la función/ ln(7x^2-4x-20)-arcctg((3x+1)/(4x-x^2))

Gráfico de la función y = ln(7x^2-4x-20)-arcctg((3x+1)/(4x-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   2           \       /3*x + 1 \
f(x) = log\7*x  - 4*x - 20/ - acot|--------|
                                  |       2|
                                  \4*x - x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)}$$ 
f = log(7*x^2 - 4*x - 20) - acot((3*x + 1)/(-x^2 + 4*x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -1.55788170471894$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(7*x^2 - 4*x - 20) - acot((3*x + 1)/(4*x - x^2)).
$$- \operatorname{acot}{\left(\frac{0 \cdot 3 + 1}{0 \cdot 4 - 0^{2}} \right)} + \log{\left(-20 + \left(7 \cdot 0^{2} - 0\right) \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(20 \right)} + i \pi$$
Punto:
(0, pi*i + log(20))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{14 x - 4}{\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20} + \frac{\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 4 x\right)^{2}} + \frac{3}{- x^{2} + 4 x}}{\frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x\right)^{2}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.524215492144626$$
Signos de extremos en los puntos:
(-0.524215492144626, 1.43743071988254 + pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(7*x^2 - 4*x - 20) - acot((3*x + 1)/(4*x - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)} = \log{\left(7 x^{2} + 4 x - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{1 - 3 x}{- x^{2} - 4 x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\left(7 x^{2} - 4 x\right) - 20 \right)} - \operatorname{acot}{\left(\frac{3 x + 1}{- x^{2} + 4 x} \right)} = - \log{\left(7 x^{2} + 4 x - 20 \right)} + \operatorname{acot}{\left(\frac{1 - 3 x}{- x^{2} - 4 x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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