Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt((2*x+3)^3)*exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          ____________    
         /          3   -x
f(x) = \/  (2*x + 3)  *e  
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}$$
f = sqrt((2*x + 3)^3)*exp(-x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 63.791046208665$$
$$x_{2} = 51.977917418658$$
$$x_{3} = 44.1846070578397$$
$$x_{4} = 97.5486131941183$$
$$x_{5} = 75.6756444193769$$
$$x_{6} = 119.473656679255$$
$$x_{7} = 34.4257331436488$$
$$x_{8} = 89.5864345668301$$
$$x_{9} = 40.3358270949082$$
$$x_{10} = 65.7681780356844$$
$$x_{11} = 83.6203711165116$$
$$x_{12} = 59.8426477418814$$
$$x_{13} = 113.490876041761$$
$$x_{14} = -1.50000000004723$$
$$x_{15} = 111.497077261603$$
$$x_{16} = 55.9039215568408$$
$$x_{17} = 71.708892726077$$
$$x_{18} = 77.6605532164086$$
$$x_{19} = 73.6917239030971$$
$$x_{20} = 67.7469771523196$$
$$x_{21} = 50.0210159806595$$
$$x_{22} = 109.503532916145$$
$$x_{23} = 79.6463614264492$$
$$x_{24} = 93.5665938245543$$
$$x_{25} = 81.6329905790302$$
$$x_{26} = 95.5573877939381$$
$$x_{27} = 101.532242062767$$
$$x_{28} = 87.5971454643819$$
$$x_{29} = 99.5402402997044$$
$$x_{30} = 85.6084411580172$$
$$x_{31} = 105.517273021307$$
$$x_{32} = 53.9390903341121$$
$$x_{33} = 117.479178897929$$
$$x_{34} = 69.7272663184576$$
$$x_{35} = 46.1232694738407$$
$$x_{36} = 91.5762640298328$$
$$x_{37} = 121.468336106747$$
$$x_{38} = 57.8719112786737$$
$$x_{39} = 115.484914473072$$
$$x_{40} = 42.2547536287917$$
$$x_{41} = 34.6800163461302$$
$$x_{42} = 36.5434699093467$$
$$x_{43} = 38.4307138703711$$
$$x_{44} = 103.524593817163$$
$$x_{45} = 107.510259033655$$
$$x_{46} = 61.8157884816431$$
$$x_{47} = 48.0691473072523$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((2*x + 3)^3)*exp(-x).
$$\sqrt{\left(0 \cdot 2 + 3\right)^{3}} e^{- 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3 \sqrt{3}$$
Punto:
(0, 3*sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} + \frac{3 \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
(0, 3*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(1 - \frac{6}{2 x + 3} + \frac{3}{\left(2 x + 3\right)^{2}}\right) \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((2*x + 3)^3)*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} = \sqrt{\left(3 - 2 x\right)^{3}} e^{x}$$
- No
$$\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} = - \sqrt{\left(3 - 2 x\right)^{3}} e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar